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Full text of "Tables de logarithmes à 27 décimales pour les calculs de précision"

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TABLES DE LOGARITHMES 



A 27 DÉCIMALES 



TABLES DE LOGARITHMES 

A 27 DÉCIMALES 

POLR LES CALCULS DE PRÉCISION 

l'AR 

FÉDOR THOMAN 



PARIS 



IHI'fllME I-AH AUTORISATION DE SON EXC. LE GARDE DES SCEAUX 



A L'IMPRIMERIE IMPERIALE 



H DCCC LXVU 



Ma.-Hn ^^<2, ^n 






I 



INTRODUCTION 



Le but de ces tables est de trouver par un procédé facile 
et simple, sans division, sans interpolation et sans formule, le loga- 
rithme d'un nombre donné ou le nombre correspondant à 
un logarithme donne. 

Ces tables sont à 2 7 décimales, et permettent d'obtenir les 
logarithmes ou les nombres avec toute l'exactitude que l'on 
désire, jusqu'à 26 chiffres exacts. Pour la plupart des calculs 
onze à treize chiff'res suffisent; je n'ai pris 27 décimales que 
pour satisfaire à tous les cas exceptionnels qui peuvent se pré- 
senter. 



DES TABLES DE LOGARITHMES A SEPT DECIMALES. 

Avant de développer la manière d'employer les tables à 
27 décimales, déterminons le degré d'approximation que 
donnent les tables de logarithmes les plus usitées, les tables à 
7 décimales, afin de savoir dans quel cas il faut renoncer à leur 
emploi. 

Ces tables ne peuvent donner dans le cas le plus simple que 
6 chiffres exacts, le septième sera douteux: l'inspection des 
tables à 7 décimales suffît pour en fournir la preuve. 

Ainsi, par exemple : pour les nombres compris entre 
9000000 et 9 999 999 1 la différence tabulaire varie entre 



— 2 — 

49 ^t 43; cest-à-dire, pour cent nombres naturels consécutifs 
on n'a que 43 ou au plus 49 logarithmes différents; par con- 
séquent entre 9 000 000 et 9 999 999 il y a toujours deux 
ou trois nombres consécutifs qui ont le même logarithme; 
aussi, parmi les nombres naturels compris entre ces deux 
limites, y en a-t-il plus de la moitié qu'on ne peut jamais 
obtenir à Faidedes logarithmes à 7 décimales. 
Ainsi par exemple : 

log 9780683 j 

log 9780684 [ =6, 99o3648 

log 9780685 ) 

Réciproquement, si Ton cherche le nombre dont le loga- 
rithme est 6,99o3648, on trouve 9780684; mais on ne 
pourra jamais obtenir à Faide des tables à sept décimales ni le 
nombre 9780683, ni le nombre 9780685. 

En général, tout logarithme contenu dans la table est 
susceptible d'une erreur par excès ou par défaut d'une demi- 
unité; l'interpolation y ajoute une seconde erreur qui peut 
s'élever également à une demi-unité: par conséquent tout loga- 
rithme extrait directement de la table peut être en erreur d'une 
unité. 

Exemple : On demande d'évaluer par les logarithmes 

321473 X 819x55 



X^z 



45a6o4 Xôqôi i8 

log 32 1473 = 6,6071446 

log 819266 = 6,9134192 

comp. log 4626o4 = 4i34428i 7 

comp. log 6961 18 = 4*2263970 

log .T = 9, 9902426 
donc a:=:o, 977783 i 



Tous ces logarithmes ont été déterminés avec toute l'exacti- 
tude que comportent les tables à sept décimales, et pourtant 
chacun d'eux est en défaut de près d'une unité. 

Le résultat exact est 

logx=: 9,9902^21 et a?=:o, 9777832 

ce qui constitue une erreur de neuf unités du dernier ordre 
dans le résultat obtenu à l'aide des logarithmes à 7 décimales. 
En général, pour trouver avec n décimales le logarithme 
d'un nombre donné par approximation, il faut connaître les 
(11+ 1) premiers chiflres de ce nombre; et réciproquement, si 
le nombre est demandé avec n chiffres, il faut connaître 
(n+ 1) décimales du logarithme. 



I . 



— 4 — 



II 



RECHERCHE DU LOGARITHME 

PAR LA MÉTHODE DES RECIPROQUES APPROCHES. 



Dans tout logarithme vulgaire on distingue deux parties : le 
nombre entier ou caractéristique, et la partie décimale ou mantisse. 

La caractéristique renferme toujours autant d^unilés moins une 
qu'il y a de chiffres à la partie entière; on l'obtient par la simple 
inspection du nombre. 

La mantisse, seule partie du logarithme que Ton inscrive dans les 
tables, est aussi la seule qu'il faut calculer et dont par conséquent 
nous ayons à nous occuper. 

On sait que la mantisse est complètement indépendante de la 
position de la virgule décimale dans le nombre; on pourra donc con- 
sidérer les nombres indépendamment de la position de la virgule; 
il en sera de même des facteurs auxiliaires par lesquels nous aurons 
à les multiplier : par conséquent, dans les calculs qui vont jsuivre, on 
placera la virgule décimale du nombre dont on cherche le loga- 
rithme, ainsi que celles des facteurs, de la manière qui semblera la 
plus commode, soit pour le raisonnement, soit pour le calcul. 



NOTATION. 



Pour faire usage de nos tables, nous emploierons une notation 
qui facilite considérablement le calcul, et qui ne peut donner lieu à 
aucune équivoque; pour la faire comprendre immédiatement, il 
suffit d'en donner quelques exemples avec la traduction en regard. 



— 5 — 

Ainsi o,o'8 signifie 0,0008 

1,0*8 • 1,00008 
1,0*8 • 1 — 0,00008 = 0,99992 

Les nombres donnés sous cette forme servent de multiplicateurs; 
mais les multiplications sont très-faciles. 

Pour effectuer la multiplication d^m nombre décimal quelconque 
par un nombre de la forme f 1 rb-^K on sépare d^abord du multi- 
plicande les n derniers chiffres, ce qui équivaut à la division par 10°; 
puis on multiplie les chiffres qui restent, par le facteur a; le résultat 
de la multiplication ajouté ou soustrait, suivant le signe de a^ donne 
le produit demandé. 

Eiemple 1. Soit à multiplier 1,00006.55177 par 1,0002 

1,00006 55177 X 1,0*2 
2 i3i 



Produit = 1,00026.55308 
Ex. 2. Multiplier 0,99997.03^567 par i,oooo3 

2-9999»* 



Produit= 1,0^34478 



Ex. 3. Multiplier 1,00000.0^7 1 2*5 1 683 1 par 0,9999996 

i,o*4 712.51 683 IX 1,0^4 
4 i885 



Produit = 1, o''7 12.5 1^946 



— 6 — 



LOGAIUTIIME DE (l ±0). 

Désignons par e la base des logarithmes naturels : 

6 = 3,7 ï8a8i8a84 . . -i 

et par il: son logarithme vulgaire, k = lo^e = o,M^2Çj. . • (lab. L): le 
nombre k s^appelle le modale des logarithmes vulgaires. 

Lorsqu'un nombre diffère peu de Tuiiité, soit en plus, soit en 
moins, de manière que les n premiers chiffres après la vii^le déci- 
male soient tous des zéros, ou tous des 9, son logarithme k 211 
chiffres est égal au module multiplié par la fraction décimale qui 
est la différence entre ce nombre et Tunité, ou 

log(i+ô) = A-ô 
cl 

^ log(i-ô) = -A-ô 

Ainsi, on trouve avec dix décimales exacics : 

log 1,000004= 0,00000.17372 

^% 0,999996 = -^ 0,00000.1737a = 9,99999.82628 

La première partie de la table Ul contient les 110 premiers mul- 
tiples de A, et donne « soit directement, soit à Taide d'une simple 
addition, les logarithmes à 2n décimales de tous les nombres com- 
posés de Tunitc suivie de n zéros au moins, et de tous les nombres 
commençant par n chiffres 9. 

On prendra les chiffres de la fraction décimale deux à deux , et 
Ton écrira aunlessous le produit [>arle module, produit qui sera tou- 
joiu^ un peu moindre (|ue la moitié du nombre exprimé par les 
deux chiffres. 



Ëx. 4. On demande avec 13 décimales log 1,000000.349689 
Ce logarîlhme est égal ù Ax 0,0^0^9689 

1,0^3^9689 

147660.1 pour 34 (table III) 
4169.2 » 96 
38-7 » 89 



■ t 



donc log 1,0^349689 = 0,0^151868 

Ex. 5. On demande avec 12 décimales log 999999650011.* 
On a o,999999.65o3i 1 = 1 — 0,0*349689; donc son logarithme 
sera égal à — Ax 0,0*349689, ou, d'après l'exemple précédent, égal 
à — o,o^'i5i868; d'où log 99999965031 1 = 1 1,999999.848132. 

Ex. 6. On demande avec 27 décimales le logarithme de : 

1,0^*1 1 2233.44551.09 

47772.39300.936 

95,5.44786.019 

14.33171.790 

19108.957 
238.862 

473 



donc log=: 0,0^*48742.36607.04 

Ex. 7. On demande avec 27 décimales le logarithme de : 

0'99î>99-99999-99998-87766.55448.9i 

Ce nombre est égal à 1 — 0,0^^1. 12233. 4455i.09; et comme 
la Traction décimale est égale à celle de l'exemple précédent, mais de 
signe contraire, le logarithme qu'on cherche sera négatif et égal au 
logarithme de l'exemple 6. Le logarithme demandé sera donc 

= — 0,0^^48742.36607.04 
o" = 9^99999-99999-99999-5 » 257.63392.96. 



— 8 — 



Ainsi donc, celle seule labié des i oo premiers mulliples de k suffil 
pour donner par de simples addilions les logarilhmes avec 27 ou 
avec moins de 27 décimales de i43 trillions(i43.io^^) de nombres. 



RÉCIPROQUES APPROCHÉS. 

Puisqu'on connail direclemenl le logarilhme de (1 ± d), lorsque 6 
esl suffisamment pelil, il esl évident que Ton connaît également le 
logarilhme de tout autre nombre, lorsqu^en le multipliant par un ou 
plusieurs facteurs compris dans les tables, on obtient un produit de 
la forme (1 d=d}. On y arrive facilement au moyen des réciproques 
approchés. 

Deux nombres sont réciproques Tun de Tautre, lorsque leur pro- 
duit esl égal à Tunité; ainsi 6,4 et 0,1 5625 sont réciproques, car 
6,4xo,i5625= 1. 

Soit a une quantité moindre que Tunité, il résulte de la relation 

(i +a) (1 — a)= i — a^ 
que 

donc 

(,+a) (i~a + Y^)=i et (1 -a) (1 +a + ^) = 1 

On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque esl tou- 
jours plus grande que 2 ; mais elle n^en diffère que d'une quantité à 
peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit. 

Par conséquent, si a est suffisamment pelil, cl si desi une quantité 
moindre que a, 

( 1 H-a) sera le réciproque approché de ( i —a+d) 
et 

(i — a) sera le réciproque approché de {i +a+d) 

Désignons le nombre par N et son réciproque par R , de manière 



— 9 — 



que NR = 1 ; et soit, par exemple, a=o,ooo3 ; le réciproque de i ,ooo3 
sera plus grand que 0,9997 ; mais il n en diflfère que d'une quantité 
moindre que 0,00000009; en effet on a 



donc 



et 



N=i,ooo3 
R>o.9997 

R = 019997-0008.9973 

N + R=:2,o"'89973 



Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à Tunité, 
il s'ensuit que si Ton multiplie un nombre par son réciproque 
augmenté ou diminué dune petite quantité, le produit sera plus grand 
ou plus petit que Tunité, quil sera de la forme (1 ± d), et que la 
quantité 6 sera d'autant plus petite que la différence entre le réci- 
proque approché et le réciproque exact sera moindre. 

Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est 0,188679 et leur 
produit est égal à l'unité; si au lieu d'employer pour facteur le réci- 
proque exact 0,188679. , . on multiplie 5,3 par 0,19 valeur appro- 
chée du réciproque, on obtient pour produit 1,007. 

De même, le réciproque de i,ooo8oo65^3 est plus grand que 
0,9991993457, et si l'on multiplie ce nombre par 0,9992 ou 1,0^8, 
on obtient pour produit i,o''i38. 

Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre 
peut, à l'aide d'une ou de plusieurs multiplications par des réciproques 
approchés, être amené à un produit de la forme (1 =b d), dont on 
trouve directement le logarithme dans la table IIL 

La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à 
choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la 
table. 

Il est facile de remplir cette condition à Taide des considérations 
suivantes : 



— 10 — 

I. Tout nombre multiplié par son réciproque forcé au second chiffre 
donne pour produit F unité suivie immédiatement d'un zéro au moins. 

En effet, si Ton s'arrèle au second chiffre du réciproque en Taug- 
menlant d'une unité, il est évident qu'on Taura augmenté de moins 
d'un dixième de sa valeur; par conséquent en multipliant le nombre 
par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que i, mais 
plus petit que 1,1 ; donc le premier chiffre décimal du produit sera 
nécessairement un zéro. 

Exemple :.Le réciproque de 77 est 1298761 ; si Ton multiplie 77 
par i3, on obtient pour produit 1001. 

La table I donne les réciproques de tous les nombres naturels de 
1 à 100; pour connaître le réciproque forcé d'un nombre « on pren- 
dra dans la colonne intitulée f-j deux nombres consécutifs, l'un 
plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite 
de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des 
deux réciproques. 

Ainsi, par exemple, étant donné le nombre 27802845, on trouve 
dans la table que ce nombre est compris 

entre 2887 ... . réciproque de 35 
et 2778, . . . réciproque de 36 

donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, et en le 
multipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité , 
mais moindre que 1,1; en effet : 

3,6 X 0,27802345 = i,ooo8844a« 

If. Lorsqu'un nombre est composé de Vunité suivie d'une fraction déci- 
male dont les premiers chiffres sont des zéros et qu'on le multiplie par l'unité 
diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un 
produit plus approché de l'unité que le nombre donné. 

Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont 



— 11 — 

i,ooo4. •• .on le multipliera par son réciproque approché au cin- 
quième chiffre i ,o'4- 

Comme le réciproque de i ,o'4 ou de 0,9996 est 1 ,ooo4oo 1 60064* 
il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, 
c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,00049999 et i,ooo4ooi6, le 
produit sera plus grand que l'unité , mais il sera toujours plus petit 
que i,o'5x 1,0^4= i>ooo0998o; par conséquent, le produit aura 
toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale. 

On aura par exemple : 



i,o'49896x 
i,o'4o694x 
i,o''*4oo94x 
i,o^4oo24x 
i,o'4ooi7X 



,0^4=1.0*9876 
,oM= 1, 0^^678 
,0^4=1,0^78 
,0*^4=1,0^8 

,oH= 1*0^1 



Ëniin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o'4f 
c'est-à-dire, s'il est compris entre i,ooo4«ooi6 et j,ooo4-oooo, le 
produit sera moindre que l'unitjé, mais plus grand que i,o'4xi,o'4 
= 0,9999.9984; par conséquent^ les zéros seront remplacés par un 
nombre au moins double de cbiflres 9 ; ainsi on aura : 

1 ,oMoo 1 5 Xi ,0^4 = 0,99999999 
1 ,o'4ooo3 X 1 ,0*4 = 0,99999987 

Désignons en général par a la valeur absolue du premier chiffre 
significatif; 

Et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit; 

Le nombre sera (1 +a + </)• ctsi l'on effectue la multiplication par 
le réciproque approché (1 — a), le produit sera [1 +rf — a(a + J)]; 
par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera sup- 
primé, et la fraction décimale qui le suit, sera diminuée. 

Mais le réciproque de ( 1 — a) est ( i +aH ^); donc, si d est 

plus grand que ——n le nombre ( i +a+d) est plus grand que le ré- 



— 12 — 

ciproque de (\—a), et le produit sera plus grand que Tunité; mais il 
aura au moins un zéro de plus que (i +a + (/), attendu qu'il sera 
moindre que {\ +d). 

Exemple : 

1,00007.26334 X 1,0*7 
7. 5i 



1, 0^26283 



Si d est moindre que •— — , le nombre (i +a+rfj sera plus petit 
que le réciproque de (1 — a); donc le produit sera compris entre 
Funité et (1 +a) (1 —a) =i—a\ 

Or a est un nombre entier du n' ordre décimal, compris entre 
I et 9; donc son carré a^ sera du 2R* ordre décimal et compris entre 
1 et 8 1 , et si (1 + a) contient (n — 1} zéros après la virgule décimale , 
{i — a?) contiendra un nombre de 9 au moins double. 

Exemple : 

1 ,00007.00045 X 1 ,0*7 

-7- ^9 



0.99999-99996 



m. Lonquun nombre commence par plusieurs chiffres 9 et qu'on le 
multiplie par Vanité augmentée du complément arithmétique du premier 
chiffre décimal à la suite des 9, on obtient toujours un produit plus rap- 
proché de Vanité que le nombre donné. 

Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996 , on le 

multipliera par 1 ,o'4- 

Comme le réciproque de i,oM est 0,9996001599. •, il s'ensuit 
que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire 
s'il est compris entre 0,9996.9999 et 0,9996.0016, le produit sera 
plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que 0,9997X1,0*4 



— 13 — 

= i,o*3xi>o^4= 1,00009988; par conséquent, on obtiendra pour 
produit Funité suivie d un nombre de zéros plus considérable que le 
nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé. 
Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales: 

0,99965696 X i,oH= 1,0*5682 
0,99960694x1,0*4= 1,0*678 
0^99960094 X 1 ,oM= i ,0^78 
o,9996oo24x i,o'4= i,o''8 
0,999600 16x1 ,o'4= 1 

Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de i,o'4« 
c'est-à-dire, s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le 
produit sera moindre que Tunité, mais plus grand que 

i,o»4x i,o»4=o,99999984; 

par conséquent on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9 
au moins double ; par exemple : 

o,9996ooi5x 1,0*4=0,99999999 

En général, désignons par a le complément du premier chiffre 
après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le 
nombre sera [\ — a + d), et si Ton effectue la multiplication par le 
réciproque approché ( 1 -f- a), le produit sera 

1 H-d — a (a— rf) 

Mais le réciproque de (i +a)esi Ti — aH — - — j; donc, 
si rf > , le nombre [i —a-\-d) sera plus grand que le réciproque 

de (1 +a) et le produit sera plus grand que l'unité; en outre, puisque 
ce produit est moindre que (i + (/), il aura au moins un zéro de plus 
que le nombre n^avait de 9. 

Par conséquent, tous les 9 el le premier chiffre de la fraction 



— 14 — 

décimale a seront supprimés, et la fraction décimale qui les suit sera 
diminuée de a(a— J). 

Exemple : 

0,99995.84672x1,0*5 

^'99979 

1,00000. 8465 1 

ff 

Si d<Z ' le nombre (i —a+d) sera moindre que le réciproque 

de (i+a), et le produit sera moindre que Tunité, mais plus grand 
que 

{i — a){i+a)= !-a* 

Donc, si a est un nombre entier du n' ordre décimal compris entre 
1 et 9, son carré à^ sera du 2/1' ordre décimal et compris entre 
1 et 81 ; et lorsque (1 — a) contient (w— i) chiffres 9 après la virgule 
décimale, (1 — a?) contiendra un nombre de 9 au moins double. 

Exemple : 

0,99995.0002 1 X 1 ,0*5 
^^-9997-'> 

«'99999-9999'^ • 

Les tables II et IV contiennent les logarithmes des nombres de la 
forme m + ~n) ' depuis n= 1 jusqu'à 71= 1 4; à partir de là on a 

et 

par exemple : 

log i,o*'4=^o,o'*i 7 .37 1 77 . 92761 ,50 
log 1,0^*4 = 0,0^'* 1.73717.79276.15 
log 1,0*^4=0,0^* 17371.77927.62 
log i,o'^'4 = o,o'^ I 737 . 1 7792 . 76 



— 15 — 

En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la re- 
cherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier 
successivement le nombre par des réciproques approchés au second 
chiffre significatif, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un produit delà Forme 
(i =bd), dont on trouve le logarithme par simple addition. 

On mulliplie d'abord le nombre donné par son réciproque forcé au 
second chiffre; le produit sera un nombre composé de l'unité et d'une 
fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce 
produit multiplié par l'unité diminuée, de la valeur du premier chiffre 
significatif (c'est-à-dire , par son réciproque approché au deuxième chifirc 
significatif) donnera un nouveau produit ayant après la virgule déci- 
male au moins un zéro de plus. 

En continuant de procéder ainsi, on finira par obtenir un produit 
de la forme ( i +6) et dont le logarithme est égal k kd. 

Soit N le nombre donné, p son réciproque forcé, 

( 1 — a), ( 1 — 6), ( 1 — c),.. . . les autres facteurs, 

( — a), ( — 13), ( — y)»- • • leurs logarithmes respectifs, 

et soit (i +0) le produit final, 

on aura : N/?(i— a) (i — b) ( i ~c). . . ~ i + 

d'où logN+log/) — (a-t-|3+y + . . .) = k6, 

et logN = comp. log/) + (a-f|3+y-*-. . .) + kd 

Or, la table I contient les compléments des logarithmes des cent dix 
premiers nombres naturels; 

I.a table II contient les compléments des logarithmes des nombres 

de la forme ( i — ^. j ; 

Et la première partie de la table III contient les multiples de A. 

Par conséquent, au moyen de ces trois tables, il sera toujours 
facile de trouver le logarithme de tout nombre donne. 

Ex. 8. Calculer avec i o décimales exactes log 5882365432. 
En multipliant le nombre donné par son réciproque forcé 17, on 



— 16 — 

obtient pour produit i ,0^2 1 2 344i dont on trouve, table III, le loga- 
rithme au moyen d'une simple multiplication par le module. 

Voici tout le calcul : 

58823.65432 X17 

4i 176.558024 

1,00000. 21 2 344 = I +Ô 



91201 .8 

998.9 
19.1 

,76955. 107862 =comp. log 17 (lab. I) 



log N = 9,76955 • 200082 

Ex. 9. Calculer avec 10 décimales exactes le logarithme de : 

1,96471598 

On voit, table I, que le réciproque du nombre donné est moindre 
que 5i; en multipliant le nombre par 5i, on obtient pour produit 
i,oo2 0o5. . ., qui, multiplié lui-même par son réciproque approché 
0,998 ou 1,0^2, donnera pour produit final 1,0*11395 dont on 
trouve directement le logarithme table III. 

Voici tout le calcul : 

19647 - 1598 x5i 
982357,990 

1, 00200.51498 X 1,0^2 
200. 4oio3 

1,0* .1 1395 =1+0 

47772 

1694 
22 



4949 =log(i + 6)^ 
86 . 94587 = - log 1 ,0^2 (tab. II) 
29242 .98239 =:comp. log 5i (tab. I) 



log N = 0,29329. 97775 



— 17 — 

Ex. 1 0. Calculer le logarithme de i ,ooo4o . o 1 2 1 3 avec 1 2 chiffres 
exacts. 

I ,ooo4o . o 1 5 1 2 . 1 3o XI ,o'4 
4 i6oo.6o5 

Q'99999-9991 1-525 =i-ô 

88.475 =6 



38. 218 
206 



-38.424 =log(i-0) 

0,0^17.37525.456 =comp. log i,oM(tab. 11) 



logN = 0,000 17. 37487.032 



Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son réciproque 
approché i,o'4 est moindre que Tunité, par conséquent son loga- 
rithme est négatif. 

Ex. 11. Déterminer avec i5 décimales log 99999«g8234-56789 

0*99999 • 98234 . 567890 X 1 ,o«2 
1999-999647 

1,0'' 234.567537 Xl,o''2 
2 5 



34.567532 =ô 



i4. 766012 

2432o5 

3257 

i4 



0,0* 1 5. 01 2488 =log(n-0) 

86 . 858897 = comp. log 1 ,0^2 
-868.588877 =^-log i,o«2 (tab.IV) 



logN= 1 4,99999 • 99233 . 282508 



^ 



— 18 — 

Exemple 12. Calculer avec i5 décimales exactes le logarithme 
de TT = 3,14159.26535.89793 

3141*59265.35897.93 x32 

6283. 18530.71795.86 
94247.77960.76937.9 



1,00530.96491.48733.76 X 1,0^5 

502.65482.45743.67 

28.31009.02990.09 XI, 0*2 

2 566. 20 180. 60 
8.30442.82809.49 XI, 0*8 
8. 66.43542.62 

30376.39266.87 X 1,0*3x1,0^3 
3 3 9] 1 2 .92 

1 . i3 



76.3oi52 .82 =6 

33. oo638.o6 
i3o28.83 

65, i4 
1.22 



33.13733.26 =iog(i+/9) 
i3o. 28834-65 

i3o28.854oo.o4 

3 . 47449 . 48368 .73 

8.68675.83428.58 

217 .69192 .54274.55 

49485 . 002 1 6 • 80094 . 02 



logTT = 0,49714.98726. 94i34 



— 19 — 

Exemple 13. Calculer avec 27 décimales le logarithme 
de 0,99999 «GoooS. 16699.85562 .52 434-36 : 

0,99999 . 6ooo3 . 1 6699 . 85562 . 52^34 . 36xi ,o?4 
39999.84001 .26679.94225.01 

1, o^ 3.00701 . 12242 .46659.37 XI, 0^3 X i,o'*7 

3 7 9.02103.37 

4.91 

1 . 12233.44^51 .09 =d 



47772.39300.936 (voir ex. 6) 

955.44786.019 

i4-33i7i .790 

19108.957 

238.862 

473 



48742 .36607.04 
3o4.oo6i 3. 7332 3.83 
1 .30288.34459.05188.00 
,99999.82628.25546 73358.29942.58 = comp. 1,0*4 

logN=9, 99999. 82629 .56 139. 57 173. 45o6i .45 



2. 



m 



RECHERCHE DU NOMBRE. 



Lorsque le logarithme donné est une fraction décimale, positive ou 
négative y dont la première moitié au moins est composée exclusive- 
ment de zéros, le nombre correspondant est égal à Tunité, plus le 
logarithme divisé par le module ; 

ainsi , si log x = 0, on aura j; = i + r 
et si log X = — ô, on aura j[: =z i — ^ 

Or, puisque A=: o,A342g . . % , on a ~ = 2,3o2 58 . . . (voir tab. I), 
par conséquent le nombre cherché est un peu plus grand que Tunité 
'augmentée du double du logarithme. 

Par exemple si log x = 0,00001 ., on a x=. 1,00002 . 8026 

et si log aî= — 0,00001 = 9,99999 

a?=: — 0,00002 . 3026 = 9,99997 .697A 

La seconde partie de la table III contient les cent dix premiers 
multiples de r et donne soit directement, soit à Taide d\me simple 
addition, les nombres à (2/1—1) chiflFres de tous les logarithmes po- 
sitifs ou négatifs commençant par n zéros. 

On prendra les chiffres deux à deux, en écrivant au-dessous le pro- 
duit qui est toujours un peu plus grand que le double du nombre 
exprimé par les deux chiffres. La somme de tous ces produits partiels 
augmentée de l'unité sera le nombre cherché. 



— 21 — 
Par exemple, soit log j?= 0,000000 . 1 5 1 868 

on trouvera (tab. III) 345387 . 8 pour 1 5 

4144.7 » 18 
^i56.6 . 68 



donc X = 1 ,000000 . 349689 

Pour tout autre logarithme, le calcul du nombre correspondant 
est très-simple : 

Da logarithme donné on retranche celui de la table F, ^ai s*en approche 
le plus par défaut; on agit de même pour tous les restes obtenus successi- 
vement ^ en retranchant les plus grands logarithmes de la table IV contenus 
dans les restes, puis on cherche le produit des nombres correspondant aux 
logarithmes soustraits. 

Il n*est pas nécessaire de continuer le calcul jusqu à ce que tous 
les chilîres significatifs soient supprimés. Pour obtenir le chiffre exact 
à (2 R — 1 ) chiffres, on peut cesser la soustraction des logarithmes dès 
qu on sera arrivé à un reste commençant par n zéros et dont on trouve 
directement le nombre correspondant par simple addition. 

En résumé, si Ton désigne par x le nombre cherché, par logN, 
log(i+a), log (1 + 6). . -1 les logarithmes soustraits du logarithme 
donné et par 6 le reste , de manière que 

logx=logN + log(i+a) + log(i+6)+ ... +0 
le nombre cherché seraj?=N (i+a) (1 + 6). . . f 1 +t] 

Dans tous ces calculs on ne tient compte que de la mantisse; c'est 
seulement à la (in du calcul qu'on met la virgule décimale à la place 
que lui assigne la caractéristique. 

11 ne faut pas oublier que pour calculer un nombre avec n chiffres 
exacts, il faut connaître son logarithme avec (^ + 1 ) décimales. 

Ex. 14. Calculer avec 1 1 décimales le nombre dont le logarithme 

est= 0,49714.9872694. 

Le plus grand logarithme de la table V, contenu dans le logarithme 
donné, est celui de 3i ; on retranche du reste les plus grands loga- 



— 22 — 

rithmes de la table IV jusqu'à ce que le dernier reste contienne au 
moins six zéros consécutifs. 

Ce reste o,o^86io83 est le logarithme de 1,0*1982717, et ce 
dernier nombre multiplié par les nombres dont on a soustrait les 
logarithmes donne pour produit : 

a;=i3,ixi,oi X 1,0^3 X i,o^3x i,o*8x 1,0*1982717 
ou .x=3,i/ii59. 2G5359, exact au dernier chiffre. 
Voici tout le calcul : 

iog x=o,497 14.98726. 94. 

49136.16938.34 =log 3i 

578.8i'788.6o 
432.13737.83 =logi,oi 

i46.68o5o. 77 

1 30.09330. 20 = Iog 1,0^3 

16 .58720.57 

1 3.02688.06 = Iog 1,0^*3 



3.56o32 .52 
3.47421.69 = Iog 1,0*8 



8610.83 

I 9802 . 23 

23. o3 

1.91 



1,00000.19827.17 X 1,0^8 

38. 1 .59 X 1,0*3 

245. 95 

1 ,ooo38 . 20074 .71 XI ,0^3 

3 1 1 460. 22 

I I. ■ Il 

i,oo338.3i534*93 xi,oi 
1 3.383i5.35 

1,01341-69850.28 x3i 
3() 40250.95508.4 
x= 3,1 4159. 265359 (valeur do tt) 



— 23 — 

Ex. 15. Combien produit un franc placé pendant 5oo ans. Tin* 
térct étant à 6 o/o payable par semestre? 

(=o,o3 r=i,o3 n=iooo 

log r*= 12,83722 .47061 .72205. 17 

83250.89127.06236.32 . • . log 68 
471 .57924.65968.85 
432.13737.82642.57 1,01 
39.44186.83326.28 
39 . 06892 . 499 1 o . 1 3 1 ,0*9 
3729/1 .33416. i5 
34743.41957.88 i,o«8 
2550.91458.27 
2171 .47186.66 i,o®5 
379.44271 .61 
347 .43557 . 16 i,o''8 
32.00714*45 



73.67272 .3o 

1634.84 
10. i3 
12 ' 




1,00000.00073.69917 .39 
858 59 

43.68 
4698.96 


X 1 ,o'8 
X 1 ,0*5 
X « ,o»8 



1.00000.85873.74660.62 X 1,0*9 

77 . 28637 . 19 

1,00090.85951.03297.81 XI, 01 

1 90859.51032.98 

1,01091.76810.54330.79 x68 
6,o655o . 6o863 . 2 6984 . 74 
80873.41448.43464.63 

6,87424.02311.69449.37, donc le montant 
de 1 franc est de 6.874240. q3i 169 francs 44^94. 



i 



— 24 



NOTE. 

C*est surtout dans les calculs d*intérét composé et d*annuités qu'on a besoin de 
logarithmes à plus de dix décimales. 

Lorsqu'on construit des tables d'intérêt composé, pour être sur de l'exactitude de 
tous les termes de la table, il faut calculer chacun au moyen du terme précédent et 
s'assurer ensuite de l'exactitude de l'ensemble en vérifiant le dernier terme au moyen 
des logarithmes. 

I. Ainsi, pour calculer la table qui donne îê montant de t franc aa beat J'an certain 
nombre d'années, chaque terme multiplié par la raison r= i-^t, donne le terme suivant; 
le dernier terme doit s'accorder avec la valeur obtenue par les logarithmes. 

Si, par exemple, le taux est 4 o/o et qu'on arrête la table à loo ans, on doit obtenir 
au dernier terme r^ => 5o,5o4948. 184269 . 4i 36. 

II. La table qui donne le montant de i franc par an, se calcule directement en multi- 
pliant chaque terme par la raison et en ajoutant l'unité au produit; si x est un terme 
quelconque de la série et y le terme suivant, on a toujours y=rx'hi. 

Lorsqu'on est arrivé à la fin de la table , on vérifie le dernier terme au moyen des 
logaritlunes. 

La table I peut également servir pour contrôler les termes inlermédiaires de la 
table II; par exemple, si le taux est 4 0/0, on a 

1= I, 
o4 



2 = a,o4 

816 

3 = 3,iai6 

i3/i864 

4=4.a/i6/i64 
169868.56 

5=5,4i63aa.56 

Or on a trouvé ci-dessus que r^ = 5o,5o4948 . 1 8436 . 94 1 36 ; donc puisque S= 

le 100* terme doit être ia37, 623704.606735. {Tkeory of compound interest and an- 
naities with logarithme tables, by Fedor Thoman. London, Lockwood and C**, page 110.) 
III. Pour construire la table qui donne la valear de i franc payable aa bout d'an certain 
nombre d'années, on commencera par le dernier terme calculé directement à l'aide des 
logarithmes , puis on le multipliera successivement par la raison en remontant jusqu'au 
premier lermc qui, multiplié par la raison, doit donner pour produit l'unité. 



r"-i 



— 25 — 

Par exemple, sil=li o/o, on a au loo* terme (page a8), 

1 oo ~ 0,0 1 98000 . 4o 1 1 Su . ao 
7930.0160&5.57 

99 — 0,0206930 . 4 1 7 1 84 . 77 
8336.816687.39 

98— 0,03 14167 .333873 . 16 
8666.389354.89 

97—0,0333733.533337.05 
8908.940939.08 

96 — o,o33i633.464i56. i3 

IV. Pour construire la table qui donne la valeur actuelle de Vannaité de l franc par an, 
on commencera par le dernier terme calculé directement au moyen des logaritlimes , 
puis on multipliera chaque terme par la raison en retranchant chaque fois Tunité du 
produit. 

Soit X un terme quelconque de la série et y le terme suivant ; on a toujours ys=rx— i. 

Le dernier terme multiplié par la raison doit donner pour produit Tunité. On peut 

encore se servir de la table II pour vérifier les termes intermédiaires. 

Par exemple , si t —4 0/0 

100-34,504998.997161.99 

980 1 99 . 969886 . 08 

99 — 34.485 1 98 . 967038 . 07 
979407.968381 .63 

98-34.464606.916319.69 
978684. 376613. 78 

97 — 34,443191.191933.37 

977737.647677.39 

96 — 34.4309 1 8 . 839609 . 66 

V. Pour construire la table de Yannaité qai amortit an capital en an certain nombre dCan- 
nées, on commencera par la première année et Ton déduira chaque terme du terme 
précédent d après la formule qui suit. 

Chaque terme doit être le réciproque du terme correspondant de la table IV; ou 

encore il doit être égal au taux plus le réciproque du terme correspondant de la table II. 

Si Ton désigne par x Tamortissement d'une année quelconque, et , par y celui de 

Tannée suivante, 

t t 
on adg = ^_ ety =^::h^ 



donc^= 



r ' — 1 

X 



r-i-x 

Cette dernière formule est Irès-facile à appliquer; par exemt)le, si t=k 0/0 et /i = 6o, 
on a 

x= 0,00666030 , donc j< = — 7^^^ — =- 0,00636886 



— 26 — 

f p 

E\. 16. Etant donné logx= 5, 9999g. 92 2 54 -38 181 3, chercher 
le nombre x. Lorsque la mantisse d'un logarithme donné commence 
par plusieurs chiffres 9, on abrège considérablement le calcul, en 
ajoutant à ce logarithme le plus petit logarithme de la table II qui 
excède le complément de la mantisse. 

En effet, ajouter le complément d'un logarithme revient à retran- 
cher le logarithme lui-même; par conséquent Taddition en question 
n'est autre chose que la soustraction du plus grand logarithme tabulaire. 

Ainsi, dans cet exemple , le complément de la mantisse est 0,0^77..., 
on prendra table II, le plus petit logarithme qui contienne ce com- 
plément : ce sera o,o*86 . . . = comp. log 0,9999998. 

En ajoutant ce dernier complément au logarithme donné, on ob- 
tient pour somme o,o"'94. ., de manière quau moyen d'une seule 
addition on a supprimé les sept premiers chiffres de la mantisse. 

\ogx=z, 99999.92254.881813 

8685.898324 = comp. log 1,0^2 
G, o' 940.780137 

86S. 588877 =1^S ^o'2 

0,0* 72 . 191260 



165.786127 

437491 
2763 

i38 

1,0^ 166.22G519 Xl,0®2 

2 33^ 

1,00000.02166.226552 Xl,0^2 
2 4332 

0:= 99999,82166.22222 

Ex. 17. On place chaque année dix millions de francs; combien 
produiront-ils au bout de 99 ans à 5 0/0? 

/ = o,o5 r— i,o5 w = 99 
rt= 10000000 - = 200 000000 



— 27 — 

log r=o,02 1 18.92990.699381 (tab. VII) 

21.18929.906994 

donc log 1^= 2,09774.06079.2387 

7918. 12460.4762 =log 12 
i855 .90618.7625 
I 703.33392 .9878 i,o4 
162 .60226.7747 

l3o. 09330. 2o42 1,0^3 

22 .50895.6705 
2 1 .70929.7223 1,0^6 
79966.8482 
43429.2310 1,0*1 
36536.6172 
34743.4196 1,0*8 
1793.1976 
1 737. 1776 1,0*^4 
56. 0200 



128.94477 
46o5 



1 ,00000.001 28.9908 X i,o'^4x i,o''*8x 1 ,0*1 

1.84 1 

33o 

84i3 



I .84 1 29 .8662 X 1,0^5 
6 92 .0649 

5i .84221 ,9301 XI, 0*3 
3 16662.6668 



351.99774.6969 
4 14^07990.9838 



1,04366.07766.6797 X12 
20873.2 i553 . 1 169 

r"= 126,239293. 180966 
montant de 1 franc au bout de 99 ans; de là on déduit 
- (r"- 1) =: 24847.868637 francs 39% produit du placement an- 
nuel de dix millions de francs pendant 99 ans. 



— 28 — 
Ex. 1 8 . Calculer la valeur actuelle à 4 o/o de i franc payable au bout de 
100 ans et la valeur d'une rente de i franc payable pendant loo ans. 

/ = o,o4 r=i,o4 P=-[^^o = 25(i— p) 

log r^^= 1 ,70333 . 39298 . 7803Ô ' (tab. VU) 
logp=8,2 9666.6o70i .2 1965 

27876.36009.52829 =log 19 
1791 . 2^691 .69136 
1703.33392 .98780 i,o4 
87.91298.70356 

86.77215.31227 1,0*2 

1 . 1^083.39129 
86868.02780 1,0*2 

27226.36349 
26067.69074 1,0*6 
i 167.77276 

868.68888 1,0^2 

299.18387 

260.67668 i,o"'6 

38.60719 



87.498234 

1 .38i56i 

16348 

207 



1 ,00000 . 00088 . 89634 X I ,o^6x 1 ,0^2 XI ,0*6 X 1 ,0*2 
2.626 1 

i4 

i6i3 

1 .26378 



1, 00002 .62690. i664o XI, 0^2 
2 626.38033 

1,00202 .63216.54673 X i,o4 
4 8. 10628.62 187 

i,o42 10.73744. 16860 X19 
93789.66369. 76174 



p=:o, 01980. oo4oi • 13920.34 Valeur actuelle de 1 franc. 
1 — /) = 0,980 19. 99698. 86079 .66 Escompte à déduire 
= 24,60499.89971.61991 Valeur de i franc par an. 



— 29 — 



Ex. 19. Déterminer 9*, plus grand nombre que Ton puisse expri- 
mer avec trois chiffres. Soit 



X=zO^ 



donc log^ = 9-9-9-9-9-9-9-9-9 ^^g 9 

et puisque log 9 = 0,95424-25094.39324.87459.00558.07 

loga!:=369 693099, 63i57 .03587 .43543. 095 

En cherchant les i5 premiers chiffres du nombre, on a: 

,63 1 57 • 03587 . 43543 1 

62324 • 92903 . 979005 =: log 42 

832 . 10683 . 456426 

432 . 13737 .826426 

399 • 96945 . 63oooo 

389. 1 1662 .369105 

10.85283.260895 

8.685o2 . 1 16490 

2 . 16781 . i444o5 

1 . 73714.318498 

43066.825907 

39086.327483 

3980.498424 
3908.648578 



,01 



»P^9 



,0*2 



,oM 



,0^9 



,0^9 



71 .849846 

163.48364 16 

1 .9341715 

225653 

10^9 

1 ,00000 . 00 1 65 . 44o384 

99 1^9 
82489 

1,00000.99165.523022 
4 3.966621 

1 ,oooo4 • 99 1 69 . 489643 
2 99.833898 

1,00024*99269.323541 
9 .22493.423912 

1,00925.2 1762 .747453 
1009.2521 7 .627475 

1 ,0 1 934 . 46980 . 37492 8 
20 38689.39607.49856 

21,40623.86587.87349 
x=42 812 47. 73175 747. . • 



.6 



X 1,0^^9X1.0^9 



X 1 ,0*4 



X 1,0*2 



X 1 ,0^9 



xi,oi 



x42 



1 



— 30 — 

Par conséquent, le nombre x qui est un nombre entier, s'écrit avec 
369 CgSioo chiflTres dont les i5 premiers sont ^281 24773175747, 
et si ce nombre était écrit sur une seule ligne à 4 chiffres par cen- 
timètre, sa longueur serait de plus de 924 kilomètres. 

Ex* 20. Déterminer le nombre doiit le logarithme est 
9,99999 . 82629 . 56 I 39 . 67 1 73 . 45o6 1 45 

Le complément du logarithme donné étant 0,0^173704* -, on 
ajoutera à ce logarithme le plus petit logarithme de la table U qui 
contienne ce complément; 

Cest 0,0^1 73718 . = comp. log i,o^4. 

9,99999 .82629. 56 139. 57173. 45o6 1 45 
17371 .8i4oi .97 812. 751 336 1 

1.37541 .54986.2019506 
1.30288.34455.1432297 1 ,0^3 
7253.2053 1 .0587209 

4342.94481.9010804 1,0*^1 

2910.26049.1 576405 
2605.76689.141 «694 i,o''6 
304.49360.0 1 647 1 1 
3o4.oo6 1 3.7332 1 70 1 ,0*^7 

48746.2832541 

i.io524 08446.371 

I 703.91 296.882 

14-27602.758 

19111 .456 

57.565 

944. 

1,00000.00000.00001 .1 2 242.465 1 5.98 

3.167 1 

42.07 

670.1 I 

5oio3.37 

1,00000.00003.16701 .1 2242.97331 .54 X 1,0^4 
4 1.26680.44897.19 

ir= 0,99999.60003. 16699.85562.52434-35 



— 31 — 

Ce nombre est exact à moins d'une unité du dernier ordre. 

On peut remarquer que c est précisément le nombre dont on a 
calculé le logaritbme , exemple 1 3 , et que les deux opérations, en 
donnant des résultats entièrement concordants, se vériBent mutuel- 
lement. 



IV 



SOMMATION DES LOGARITHMES. 



Les formules qui suivent, sei*vent à calculer très-rapidement la 
somme d'un grand nombre de logarithmes. 

Les Nombres de Bemoulli, qui entrent comme facteurs dans ces 
formules, jouent conjointement avec les deui nombres analytiques 

e base des logarithmes naturels, et 
TT rapport de la circonférence au diamètre, 
un rôle très-important dans toute Tanaiyse. 

En effet, ils se présentent dans un grand nombre de développe- 
ments en séries, dans les formules logarithmiques et trigonométrie 
ques, dans la sommation des séries algébriques ou transcendantes, 
dans le développement des intégrales définies et des intégrales aux 
différences finies. 

Ils sont les coefficients de x dans les sommes des puissances paires 
des nombres naturels, depuis i jusqu'à x; par exemple : 

. I «2 , o2 , . Jt X^ X^ X 

1+2 +6 +'''+^=3"+7 + g 

, _4 , q4 , ,4 X^ , X . 2X^ X 

1+2+3 +...+x=5+- + -^-3- 

i+2»+3« + ---+x'* = ^'+ï+¥-ï+,^ 

1+2 +0 +• • • +.r =--. + ~ + -^ '—-\ 5- 

9 a . o 10 9 DO 

En désignant par 3, 0, C, )D, les nombres de BernouUi, 

par H, n, n.. . les coefficients du binôme de Newton, de manière que 



f 1 + a V= 1 + wa + fia^ + na' + 



— 33 — 

et en posant successivement n= 2, ^t 6, 8 . • . , on trouve facilement 
la valeur numérique des nombres de Bemoulli , au moyen de Téquation 



n— 1 



=i3in — i« n+^i^n^l^n-\ 



Ces nombres sont tous rationnels, positifs et fractionnaires; voici 
les douze premiers: 

^=î •=K •=! *=^ 

m — JL # — A ^ — Ë£i2 ^_ 8545^3 
*'~3o ^~66 ^"" 5io *"" i38 

^ — — £= ^^^ 3 = 43867 j||_ a36364o9i 
42 2730 798 2730 

( Comptes rendus de l Académie des sciences, 1 4 mal 1 860. ) - 



— 34 



I 



SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES EN PROGRESSION ARITHMETIQUE. 
{Comptes rendus de ÏActuiémie des sciences, 9 novembre i863 '.} 



S=loga + log(a+«) + log(a+26)) + . . . + log{a+na)) 
Soit b=[a+n(t)); et soit k le module des logarithmes, on aura: 

S=i(61og6-«loga)-„*+-M«g«6-2iï(î_l)+«^'(J.-^) 

€ka* / I 1 \ , 

ouS=ilog6-Moga-«A+llog.6-^; + ^:(±^ >,)--••• 

Ex, 2 1 • Déterminer la somme des i oo i logarithmes 

log 17000+log 1 7003 +log 17006 + . . . + log 20000 
0=17000 ^log 6 = 28673, 53330.442655 

6 = 20000 — g-loga = 23972, 54388*78io22 

jiw= 3ooo — wi=— 434» 29448.190325 

(0= 3 +iloga6= 4i 26573.945852 

lîz= 1000 •— ^^ = —95800 

1 36oooo 

S zz 4270, 96067.321360 " 

Ex. 22. Déterminer la somme des 1 1 o i logarithmes 
log 17000+log 17002 — hlog 17005 — h . . . +log 20000 
n« = 3ooo • 31540,88663.486920 

6)= — — 26369,79827.659124 

n=iioo — 477,72393.009358 

+ 4,26573.945852 

-87091 



8 = 4697,63016.677199 



* Le cadre restreint de cet ouvrage De m^a pas permis de donner ici le développement des for- 
mules générales de la sommation des séries, mais j ai toujours indiqué les comptes rendus de 
TAcadémie dès sciences où l'on peut trouver ces développements. 



— SS- 
II 

LOGARITHMES DES FAGTORIELLES , OU SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS 

DE 1 Xx. 

S=log(i . 2 .3 .4- • • "2:) 

ou S=(x+i) logx+3log27r-ix+^.-3ë|p-h^ 

Ex. 23. Calculer la somme des logarithmes de tous les nombres 
naturels depuis i à 679. 

jc=:579 S79»51og579= 1600,9722277 

logx= 2, 76267. 85637 -log 27r z=z 0,3990899 (tab. Vil) 

— /:a? = — 25 1,4069050 
+ — = +625 

12X 



log(i .2 .3.4* • .579) =1349,9 148741 

Ex. 24. Calculer la somme de tous les logarithmes de 1 è 1 00000. 

x= lOOOOO 

loga:= 5 

5oooo2,5 

0,39908.99341 -79057 .52478.25035.92 
— 43429,44819.03251 .82765. 1 1289. 18916.61 

+ 3619. 12068.25270. 98563. 7G 

-1:^0.63735.61 

S = 456573,45089.99709.08360.66339.40947 ^46 

Ex. 25. Calculer avec 25 chiffres exacts log ( 1 • 2 • 3 . . . 1 00) 
x=:ioo 
loga;= 2 

201,39908.99341 .79057.52478.25035.92 

— 43,42944 -8 1903 .25182 .7651 1 .28918.92 

+36. 19120.68252 .70985.63759.41 

— 12.06373.56084.23661.88 

+ 34.46781 .60240.68 

— 258. 50862 .02 

+ 3655.68 

-83 

S= 157,97000.36547 .15788.37391 ./j 9248.04 (tab. VI) 

3. 



~ 36 — 
III 

SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DKRNIBR TERMB BTAIIT POSITIF. 

[Comptes rendus de T Académie des sciences ^ a 5 mars 1867.) 



S = loga— log (a + ci))4-log(a+2w) — . . . 4-iog(a4-n«), 

Ex. 26. C.lealery = î«^2|^î5îl^^ig:Mé 

a =2^6 loga = 2,390351 

6 = MA Moga6= 2,5.1 9 1690 

œ= 9 iog6 = 2,647383o — ^1^= ^ *77iA 

+ 7 



logj =2, 5i 73883 
y = 329,1^58 

Ex. 27. S = log 1 7000 — log 1 7003 4- log 1 7006 — . . • + log 20000 

( Voir exemple 21.) 
a= 17000 

6 = 20000 4ia6573.94585.2i 127.56 

û)= 3 — 28740.07600.83 

+ 38.37 

8=4,26573.65845. i3565. 10 

Q C 

Ex. 28. log 1 7000 — loçi 7002 — h log 1 7005 . . . + log 20000 

0) = — 4,36573.94585.2 1 127.56 

— 26127.34182 .57 

+ 28.83 

S = 4,26573 . 68457 . 86973 . 82 



37 — 



IV 

SOUME DES LOGARITHIIES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DERNIER TERME &TANT POSITIF. 



S = log i --log2+log3 — . . . +loga: 
S — -loffx — -î^loff-4-^^^ .?[* — îlni. • * 4- î!jzi •* -L. 

SI] liTT.ft /[,ft 17^1 

2 ^ 2 ^ 2 àx 2àx aor iiaa?^ 



• • • 



Ex. 29. Calculery= ^-f-^7-997-999 

a;=999 
logx= 2,99966 5488 (tab. II) iiogx=i, 4997827 

-liog^ = -o,098o699{tab.VII) 

+ ^= ^ 

logy= 1, 4oi83i5 

y=25, 23502 



Kx. 30. S=log i — log2+log3— . . . +log3ooi 

jp=3ooi 
logx= 3, 47726.59g54.24852 .62460.2942 1 .60 
~logiP= 1,73863.29977. 12426.31 

— 9806 . 99385 . 1 5076 . 33 
+ 3.61791 .47109.67 

— 669.54 



S= 1,64060.92383.43790.01 



— 38 — 



SOMME DB5 LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DERNIER TERME ETANT NEGATIF. 

(Comptes rendus de V Académie tles sciences, a 5 mars 1867.) 



S = loga— log(a-f-w)+log(a+2Ci>) — . • • — Iog(a + nw), 

s=',<^i-'^M. (i+i)+4^e*«.(^+-j,) 

c »i « koj / ^ , i\ , W / 1 , 1 \ kù)^ f i , i \ , 
ou S=.-log^-^(- + ^)+^(p+pj-— (^ + j.) + .- 

P Q| 1^ I I ^ 386i -3871 -3881 •• -6001 

r.x. o 1 . i^aicuier j_ 3^66. 3876. 3886..- 6006 

a = 386i log a = 3,6866998 -logT = 9,904067 2 

6 = 6006 log6 = 3, 7786863 — 23io 

w= 5 



logj = 9,9038262 

J'zzio, 8013673 



Ex. 32. Calculer y= ^^'^'^;^^'"f^93 

a=.l8l6 



6 = 6000 



(0= 7 



^*^g| = 9>7799S- 33 126. 18066.26939.77 

— 67.07443.04661 .00904. 79 
g = 0,363 -f- 10.87749*81921 . 12 

— 18.64618.76 

+ 83.74 

logj' = 9,77938. 26693.01 126.4242 1 .09 
y = 0,60 1 70 . 36437 . 67086 • 00396 . 39 



3.11* 



— 39 — 
VI 

SOMME D£S LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DERNIER TERME ETANT NÉGATIF. 



S = log 1 — log2+log3 — . . . — loga; 

2© -1^2 2 X Ô'^ X 5-6 X 

SI 1 ,11 TT , k h , h 

2 o 'a o 2 4aî 34^^ ^ox - 

Ex. 33. On demande y= *' ' "'997-999 

j 2-4*0-- •998*1000 

a:=iooo -loga:=i,5 

logx= 3 -^logf =0,0980599 (tab. VII) 

1086 



S = - 1,5981685 
logj=î8,4oi83i5 

y:=0, 02522002 

Ainsi , pour évaluer j avec 8 chiffres exacts, il n'a fallu calculer qu un 
seul terme. 

On voit que la mantisse du logarithme est égale à celle derexemple29. 

Ex 34. S = log 1 — log2+log3— . . .— Iog3ooo 
-log3ooo= 1,73856.06273 ,59831 .22 

llog ^ =0,09805.99385.15076.33 



— = 3. 61912.06825.27 

= —670.21 



2^X 



— S= 1.83665.67570.81062.61 
Dans l'exemple 30, on a trouvé pour somme des 3ooi logarithmes 
positifs et négatifs 8=::+ i,64o6i ; en retranchant de cette somme la 
valeur qu'on vient d'obtenir S=— 1 ,83665..., on trouve pour différence 

3,47726.59954.24852 .62 

mais c'est le logarithme de 3ooi exact au dernier chiffre; par consé- 
quent les deux résultats sont vérifiés l'un par l'autre. 



— 40 - 

AD. II. 



SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS OtJ DES NOMBRES IMPAIRS 

COlfPRIS ENTRE I ET !}^. 



De la valeur de S = log ( i . ^ . 3 . • . x), formule II, on déduit direc- 
tement la somme des logarithmes des nombres pairs: log (2.4-6...2x) 
= S+^log2; puis en retranchant cette dernière valeur de celle de 
log (i . a . 3 • • . ax), il reste la valeur de log [ i •3.5.7. • • (^Jp— i)]» 
somme des log. des nombres impairs. 

1. flOMMB DES LOOAAITBMBS DES NOMBRES PAIRS DR I A SX 

P = (x+i)log.x+ilogir-ix+^-3-g^, + ^.-... 

Ex. 35. Calculer à a o' décimales la somme des logarithmes des 
nombres pairs de i à loooo. 
2a:= lOOoo 

20002, 

log2a:= 4 0,24857.49363.47066.9271 7.56=:-1.7r, t.VII 

— 2 17 1,47 2 40.-95 162. 591 38. 2 5564-46 

+ 72382.41365.05419.7 I 

— 9.65098.85 

+ 1 
P= 17230,77617.26583.29284-07473.97 

2. — SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES IMPAIRS DE 1 À 3X. 

I = xlog2JÎ+-loff 2— fcr ■ T+ôs-^T — T. fi-^ — ^ + ' • • 

^ 2 o 12 -(aa:) 36o*(2a;J* i26o-{2a;) 

Ex. 36. Calculer à 20 décimales la somme des logarithmes des 
nombres impairs de 1 à 1 0000. 
20000, 

o,i5o5i .49978. 3 1990. 59760. 69 = -log 2, lab. VII. 

— 2 1 7 1 ,472 4o .95162.59138. 25564 • 46 

—39191 .20682.52709.86 

+8.44461 .49 



1 = 17828,67810.18624.52178.25947.85 

En additionnant les deux sommes que nous venons d^obtenir^on aura 
P+I = 35659,45437. 45207. 81 462. 3342 18 
ce qui est la somme des logarithmes de tous les nombres naturels 
depuis 1 jusqu^à 10000. 



TABLES 



— /i2 



I 



RECHERCHE DU LOGARITHME. 

RÉCIPROQCES ET LOGARITHMES DES RECIPROQUES DES NOMBRES NATURELS DE 1 À I lO. 



a 



11 
12 
13 

14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 



21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 



i 

a , 



9091 

8333 

7692 

7143 

6667 

625 

5882 

5556 

5263 

5 



4762 

4545 

4348 

4167 

4 

3846 

3704 

3571 

3448 

3333 



Lor(^) 



95860.73148. 
92081.87539. 
88605.66476. 
85387.19643. 
82390.87409. 
79588.00173. 
76955.10786. 
74472 . 74948 . 
72124.63990. 
69897.00043. 



41774.95924 
52375.17227 
93163.23079 
21761.97407 
44318.75791 
44075.21914 
21726.07145 
96693.93019 
47171.03846 
36018.80478 



. 98000 . 29 
.74943.07 
.34948.42 
.40448.47 
.87109.91 
.50444.21 
.98301.06 
.62052.99 
. 36665 . 24 
.62611.05 



67778.07052 
65757.73191 
63827.21639 
61978.87582 
60205.99913 
58502.66520 
56863.62358 
55284 . 1 9686 
53760.20021 
52287.87452 



.66080.73199.27558.38 
.77793.76403.60611.34 
.82407.12113.22228.88 
.88393.97706.37554.13 
.27962.39042.74777.80 
.29182.03557.07559.47 
.41012.68811.49162.90 
.57780.77886.03059.52 
.01043.91266.71532.37 
.80337.56270.49720.97 



a 



1 
a 



.og 



(.-) 



31 


3226 


32 


3125 


33 


3030 


34 


2941 


35 


2857 


36 


2778 


37 


2703 


38 


2632 


39 


2564 


40 


25 


41 


2439 


42 


2381 


43 


2326 


44 


2273 


45 


2222. 


46 


2174 


47 


2128 


48 


2083 


49 


2041 


50 


2 


m 





50863 

49485 

48148. 

46852 

45593, 

44369 

43179 

42021, 

40893. 

39794. 



83061.65727 
00216.80094 
60601.22112 
10829.57744 
19556.49724 
74992.32712 
82759.33005 
64033.83189 
53929.73500 
00086.72037 



. 32033 
.02393 
.52195 
.87624 
.36450 
.73498 
.00319 
.84324 
.79349 
.60957 



.32959.00 
.13055.26 
.47721.26 
.60912.11 
.15226.36 
.24664.04 
.15493.10 
.99276.30 
.84669.39 
.25222.11 



38721 
• 37675 
36653 
35654 
34678 
33724 
32790 
31875 
30980 
30102 



.61432 
. 07096 
. 15444 
.73235 
. 74862 
.21683 
.21420 
.87626 
.39199 
.99956 



.80264 
.02099 
.20413 
.13812 
.24656 
.18425 
.64282 
.24412 
•71486 
.63981 



50540 

53677 

.47359 

56882. 

32062 

92591. 

53558 

,78185, 

33857 

19521 



05881.50 

00169.43 

49118.47 

23222.39 

^630. 8S 

84839.93. 

57806.01 

00165. 1& 

55674,85 

37388 . 95 



c = 



Module k = 


= log 


e 

€ 


1 
F 


= log. 


lO 




log 


k 




log 


2k 



2,71828.18284.59045.23536.02874.71 
0,36787.94411.71442.32159.55237.71 
0,43429.44819.03251.82765.11289.19 
2,30258.50929.94045.68401.79914.55 
9,63778.43113.00536.78912.29674.99 
9,93881.43060.64517.98433.67063.93 



jv * 



- t 






•>. /<.^-^ 






43 — 



I (Suite). 







RECHERCHE DU LOGARITHME. | 


a 




nSCIPROQUES KT LOGARITHMES DF8 RÉCIPIU 


)QDEd D 

a 


ES NOMBD 


ES NATURELS DK 1 À 1 lO. 


1 
a 


Log(L) 


1 

a 


^°«(.-) 


51 


1961 


29242 . 98239 . 02063 . 634 1 6 . 48022 . 02 


81 


.1235 


• 

09151.49811.21350.25081.98883.87 


52 


1923 


28399 . 66563 . 65200 . 84036 . 60 1 70 . 53 


82 


1220 


08618.61476.16283.31027.68492.55 


53 


1887 


27572.41303.99210.95436.70077.08 


83 


1205 


08092.19076.23926.09616.72396.48 


54 


1852 


26760.62401.77031.49290.11773.90 


84 


1190 


07572.07139.38118.34156.52780.49 


55 


1818 


25963 .73105. 05756 . 1 5446 . 35389 . 23 


85 


1176 


07058 . 1 0742 . 85707 . 26667 . 35690 . 00 


56 


1786 


25181.19729.93799.58364.65670.57 


86 


1163 


06550 . 15487 . 50432 . 27838 . 1 1 729 . 52 


57 


1754 


24412.51443.27508.60116.86386.21 


87 


1149 


06048.07473.81381.47537.21253.34 


58 


1724 


23657.20064.37062.71745.34143.42 


88 


1136 


05551.73278.49831.37300.85833.45 


59 


1695 


22914.79883.57855.80973.93436.15 


89 


1124 


05000 . 99933 . 55087 .21527. 64566 . 30 


60 


1667 


22184.87596.16350.36749.12332.02 


90 


1111 


04575 . 74905 . 60675 . 1 2540 . 9944 1 . 93 


61 


1639 


21467.01649.89232.96611.42514.86 


91 


1099 


04095 . 86076 . 78906 . 40008 . 12785 . 83 


62 


1613 


20760.83105.01746.12511.95570.05 


92 


1087 


03621.21726.54444.73070.47450.98 


63 


1587 


20065.94505.46418.29469.77279.35 


93 


1075 


03151.70514.46064.88303.82079.97 


64 


1562 


19382.00260.16112.82871.75666.32 


94 


1064 


02087 . 2 1 464 . 0030 1 . 34037 . 204 1 7 . 06 


65 


1538 


18708.66433.57144.42600.72337.37 


95 


1053 


02227.03947.11152.23367.74054.19 


66 


1515 


18045.60644.58131.32074.10332.31 


96 


1042 


01772.87669.60431.58663.62776.23 


67 


1493 


17392.51972.99173.56585.08683.71 


97 


1031 


01322.82657.33755.14821.56381.88 


68 


1471 


16749.10872.93763.68103.23523.16 


98 


1020 


00877 . 39243 . 07505 . 14336 . 18285 . 88 


69 


1449 


16115.09092.62744.68383.71949.84 


99 


1010 


00436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22 


70 


1429 


15490.19599.85743.16928.77837.41 


100 


1 




• 


71 


1408 


14874.16512.80924.71390.71705.05 


101 


9901 


99567:86262.17357.42572.48118.22 


72 


1389 


14266 . 75035 . 68731 . 53976 . 87275 . 09 


102 


9804 


99 1 39 . 98282 . 38082 . 43895 . 1 0033 . 08 


73 


1370 


13667.71398.79544.09892.56131 .00 


103 


9709 


987 1 6 . 27752 . 94827 . 79482 . 89288 . 05 


74 


1351 


13076.82802.69023.80797.78104.16 


104 


9615 


98296.66607.01219.64515.22781.58 


75 


1333 


12403.87366.08299.95313.24498.86 


105 


9524 


9788 1 . 07009 . 3006 1 . 92720 . 64947 . 33 


76 


1316 


11918.64077.19208.64803.01887.35 


106 


9434 


97469.41347.55229.75915.32688. 14 . 


77 


1299 


11350.92748.27518.12853.75837.70 


107 


9346 


97061.62223.14790.35916.54587.61 


78 


1282 


1 0790 . 53973 . 095 1 9 . 59828 . 47280 . 44 


108 


9259 


96657.62445.13050.29768.74385.01 


79 


1266 


10237.29087.09558.57200.51786.14 


109 


9174 


96257 . 35020 . 59376 . 36479 . 94866 . 92 


80 


125' 


09691 .00130.08056.41435.87833. 16 


110 


9091 


95860.73148.41774.95924.98000.29 



— ft4 — 



II 



■OII»ftl. 


RECHERCHE DU I 


.OGAR] 

lOMStE. 


[THME. 


-.og(.-;^.) 


-.og(.--l.) 


1,0 9 


0,0 4095 . 8C07C . 78906 . 40008 . 1 2785 . 83 


I,0»9 


0,0*39086 . 67926 .16131. 78020 . 1 8 


8 


362 1 . 2 1 726 . 54444 . 73070 . 47450 . 98 


8 


34743 . 69752 . 72355 . 556 1 5 . 66 


7 


3151.70514.40064.88303.82670.97 

1 


7 


30400 .72013. 58722 . 40 1 96 . 79 


6 


2687.21464.00301 .34037.20417.06 


6 


26057 . 74708 . 75 1 45 . 45678 . 49 


5 


2227 . 63947 . 11 152 . 23367 . 74054 . 19 


5 


21714.77838.21537.86001.75 


4 


1 772 . 87669 . 6043 1 . 58663 . 62776 . 23 


4 


17371.81401.97812.75133.61 


3 


1322.82657.33755. 14821 .56381 .88 


3 


13028 . 85400 . 03883 . 27067 . 18 


2 


0,œ 877.39243.07505.14330.18285.88 


2 


0,0« 8685.89832.39662.55821.62 


1 


436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22 


1 


4342 . 94699 . 05063 . 75442 . 1 3 


i,0«9 


Ofl* 392.63455.14724.67163.55656.21 


1,0«9 


0,0« 3908.65209.60229.73493.33 


8 


348.83278.45821 .34426.46014.26 


8 


3474 . 35724 . 49690 . 97907 . 98 


7 


305.07515.04618.82409.68314.89 


7 


3040 . 06243 . 73447 . 40000 . 1 4 


6 


261.36156.02686.68798.12154.12 


6 


2005.76767.31498.91083.93 


5 


217. 69192. 54274. 54511. 37171. la 


5 


2171.47295.23845.42473.42 


4 


1 74 . 066 1 5 • 7630 1 . 26844 . 47339 . 55 


4 


1 737 . 1 7827 . 50486 . 85482 . 72 


3 


130.48416.88344.28011.86282.97 


3 


1302.88364.11423.11425.93 


2 


0,0' 86 . 94587 . 1 2628 . 89062 . 03560 . 69 


2 


0,0' 868.58905.06654.11617.14 


1 


43.45117.74017.09130.64656.01 


1 


434 . 29450 . 361 79 . 77370 . 46 


1.0»9 


0,0' 39 . l 04 1 . 28582 . 94304 . 45669 . 94 


1,0'9 


0,0' 390.86505.13018.54217.30 


8 


34.75746.33920.90231.07184.25 


8 


347 . 43559 . 94200 . 25624 . 22 


7 


30.41125.89160.76147.34971.46 


7 


304.00614.79724.91582.53 


6 


26 . 06548 . 9343 1 . 97427 . 76940 . 46 


6 


260 . 57669 . 69592 . 52083 . 54 


5 


21.72015.45864.25579.96912.24 


5 


217.14724.63803.07118.57 


4 


17.37525.45587.58231.28918.96 


4 


1 73 . 7 1 779 . 62356 . 56678 . 94 


3 


13.03078.91732.19118.92026.02 


3 


1 30 . 28834 . 6525%. 00755 . 95 


2 


0,0* 8 . 68675 . 83428 . 58079 . 45676 . 92 


2 


0,0* 86 . 85889 . 72492 . 39340 . 92 


I 


4.34316.19807.51038.45560.44 


1 


43.42944.84074.72425.16 


i.0*9 


0,0* 3 . 90882 . 62369 . 48505 . 5789 1 . 65 


i.0»9 


0.0» 39.08650.35471.81930.71 


8 


3 . 47449 . 48368 . 72627 . 56562 . 27 


8 


34.74355.86912.34381.16 


7 


3.04016.77804.36523.36654.48 


1 

7 


30 . 4006 1 . 38396 . 29776 . 50 


G 


2.60584.50675.53314.53910.58 


6 


26.05766.89923.68116.71 


5 


2.17152.66981.36125.24722.49 


5 


21.71472.41494.49401.80 


4 


1.73721.26720.98082.26121.40 


4 


17.37177.93108.73631.75 


3 


1 . 30290 . 29893 . 523 1 4 . 95767 . 29 


3 


1 3 . 02883 . 44766 . 40806 . 55 


2 


0,0* 86859 . 76498 . 11 955 . 3 1 938 . 54 


2 


0,0' 8 . 68588 . 96467 . 50926 . 20 


1 


43429 . 66533 . 90 1 37 . 9352 1 . 49 


1 


4.34294.48212.03090.69 



— 45 — 



II (Suite). 





RECHERCHE DU LOGARITHME. 1 


NOMDRB. 


-">«('-I^). 


HOUBRB. 


• -•»«(•—.) 


1,0» 9 


0.0*3.90865.03388.88159.10 


1,0»9 


0.0"390. 86503. 37131. 03 


8 


3.47435.58566.15756.96 


8 


347.43558.55227.41 


7 


3.04006.13743.86784.27 


7 


304.00613.73323.83 


6 


2.60576.68922.01241.03 


6 


260.57668.91420.29 


5 


2.17147.24100.59127.24 


5 


217.14724.09516.80 


4 


1.73717.79279.60442.90 


4 


173.71779.27613.35 


3 


1.30288.34459.05188.00 


3 


130.28834.45709.95 


2 


0,0»» 86858 . 89638 . 93362 . 55 


2 


0,0» 86.85889.63806.59 


1 


43429.44819.24966.55 


1 


43.42944.81903.27 


1,0'«9 


0,0»» 390B6.50337.30515.57 


l .0''9 


0,0" 39.08650.33712.94 


8 


34743.55855.36498.89 . 


8 


34.74355.85522.62 


7 


30400. 6 1373. 4291 6. 49 


7 


30.40001.37332.29 


6 


26057.66891.49768.40 


6 


26.05766.89141.96 


5 


21714.72409.57054.59 


5 


21.71472.40951.63 


4 


17371.77927.64775.09 


4 


17.37177.92761.30 


3 


13028.83445.72929.87 


3 


13.02883.44570.93 


2 


0.0'» 8685.88963.81518.95 


2 


0,0»* 8.68588.96380.65 


1 


4342.94481.90542.33 


l 


4.34294.48190.33 


J,0"9 


0,0" 3908.65033.71468.55 






8 


3474.35585.52399.12 




• 


7 


3040.06137.33334.03 






6 


2605.76689.14273.28 






5 


2171.47240.95216.88 






4 


1737.17792.76164.82 






3 


1302.88344.57117.10 


' 




2 


0,0" 868.58896.38073.72 






1 


434.29448.19034.69 







— 46 



m 



• 


RE( 


]HEB 


iGHE DES LOGABI 


THM 


ES ET DES NOMB 


RES. 




n£ClIEnCUR DO I.OGAniTHME. 


RECHEnCHE DD LOGARITHME.- 




Log(i -t 


-«) = 
B 






Log(i . 


B 


K6 


B 


Kfl 


B 


U 


11 


4,77723.93009.36 


36 


15,63460.13485.17 


61 


26,49196.33960.98 


86 


37,34932.54430.80 


12 


5,21153.37828.39 


37 


16.06889.58304.20 


62 


26,92625.78780.02 


87 


37,78361.99255.83 


13 


5,64582.82647.42 


38 


16,50319.03123.24 


63 


27,30055.23599.05 


88 


38,21791.44074.86 


14 


6,08012.27466.46 


39 


10.93748.47942.27 


64 


27,79484.68'! 18.08 


89 


38.65220.88893.89 


15 


6,51441.72285.49 


40 


17.37177.92761.30 


65 


28.22914.13237.11 


90 


39,08050.33712.93 


16 


6,94871.17104.52 


41 


17,80007.37580.33 


66 


28.00343.58056.1^ 


91 


39,52079.78531.96 


17 


7,38300.61923.55 


42 


18,24036.82399.37 


67 


29.09773.02875.18 


92 


39,95509.23350.99 


18 


7,81730.06742.59 


43 


18,67466.27218.40 


68 


29.53202.47694.21 


93 


40,38938.68170.02 


19 


8,25159.51561,62 


44 


19,10895.72037.43 


69 


29,96631.92513.24 


94 


40,82368.12989.06 


20 


8,68588.96380.65 


45 


19,54325.16856.46 


70 


30.40001.37332.28 


95 


41,25797.57808.09 


21 


9,12018.41199.68 


46 


19.97754.01675.50 


71 


30,83490.82151.31 


96 


41,09227.02627.12 


22 


9,55447.86018.72 


47 


20,4118^.00494.53 


72 


31,26920.26970.34 


97 


42,12656.47446.15 


23 


9,98877.30837.75 


48 


20,84613.51313.56 


73 


31,70349.71789.37 


98 


42,56085.92265.19 


24 


10,42306.75656.78 


49 


21,280'42.90132.59 


74 


32.13779.10608.41 


99 


42,99515.37084.22 


25 


10,85736.20475.81 


50 


21,71472.40951.03 


75 


32,57208.61427.44 


100 


43.42944.81903.25 


26 


11,29165.65294.85 


51 


22,14901.85770.00 


76 


33.00638.06246.47 


101 


43.80374.26722.28 


27 


11,72595.10113.88 


52 


22,58331.30589.09 


77 


33,44067.51005.50 


102 


44,29803.71541.32 


28 


12,10024.54932.91 


53 


23,01700.75408.72 


78 


33,87496.05884.54 


103 


44,73233.10360.35 


29 


12,59453.99751.94 


54 


23,415190.20227.76 


79 


34,30920.40703.57 


104 


45,16662.61179.38 


30 


13,02883.44570.98 


55 


23,88619.65046.79 


80 


34.74355.85522.00 


105 


45.60092.05998.41 


31 


13,46312.89390.01 


56 


24,32049.09865.82 


81 


35,17785.30341.63 


100 


40,03521.50817.45 


32 


13,89742.34209.04 


57 


24,75478.54684.85 


82 


35.61214.75160.07 


107 


40.40950.95636.48 


33 


14,33171.79028.07 


58 


25,18907.99503.89 


83 


36,04544.19979.70 


108 


46,90380.40455.51 


34 


14,76601.23847.11 


59 


25,62337.44322.92 


84 


36.48073.04798.73 


109 


47,33809.85274.54 


35 


15,20030.68606-14 


60 


20,05706.89141.95 


85 


36,91503.09617.70 


110 


47,77239.30093.58 



47 — 



m (Suite). 



• 


RECHERCHE DES LOGARITHIV 


lES ET DES NOMRRES. 

RECHERCHE DU NOS 

• 




RECHERCHE DU NOMBRE. 




fBRE. 


e 


Log X^=B X 


-..• 


e 


Log x = d 


'—i \ 


e 

k 


e 


e 
k 


• 

e 

k 


e 


e 
k 


11 


25.32843.60229.35 

• 


36 


82,89306.33477.86 


01 


140.45769,06726.37 


86 


198,02231.79974.88 


12 


27.63102.11159.29 


37 


85,19564.84407.80 


02 


142,76027.57656.31 


87 


200.32490.30904.82 


13 


29,93360.62089.23 


38 


87,49823.35337.74 


63 


145,06280.08580.25 


88 


202,02748.81834.76 


14 


32,23619.13019.17 


39 


89,80081.86267.68 


64 


147,36544.59516.19 


89 


204.93007.32704.70 


15 


34,53877.63949.11 


40 


92.10340.37197.62 


65 


149,66803.10440.13 


90 


207,23265.83694.64 


16 


30,84136.14879.05 


41 


94.40598.88127.56 


66 


151,97001.61376.07 


91 


209,53524.34624.58 


17 


39,14394.05808.99 


42 


96,70857.39057.50 


67 


154,27320.12300.01 


92 


211,83782.85554.52 


18 


41,44053.16738.93 


43 


99,01115.89987.44 


68 


156,57578.63235.95 


93 


214,14041.30484.46 


10 


43,74911.67668.87 


44 


101,31374.40917.38 


69 


158,87837.14165.89 


94 


216,44299.87414.40 


20 


46,05170,18598.81 


45 


103.61632.91847.32 


. 70 


161,18095.05095.83 


95 


218,74558.38344.34 


21 


48,35428.69528.75 


46 


105,91891.42777.26 


71 


163,48354.16025.77 


96 


221,04810.89274.28 


22 


50,65687.20458.69 


47 


108.22149.93707.20 


72 


105,78612.66955.71 


97 


223,35075.40204.22 


23 


52,95945.71388.63 


48 


110,52408.4^637.14 


73 


108.08871.17885.65 


98 


225,05333.91134.16 


24 

1 


55,26204.22318.57 


49 


112,82660.95507.08 


74 


170,39129.68815.59 


99 


227,95592.42004.11 


25 


57,56462.73248.51 


50 


115.12925.46497.02 


75 


172,69388.19745.53 


100 


230.25850.92994.05 


26 


59,86721.24178.45 


51 


117,43183.97426.96 


76 


174,99646.70075.47 


101 


232.56109.43923.99 


27 


62,16979.75108.39 


52 


1 19,73442.48356.90 


77 


177.29905-2 1605.42 


102 


234,80367.94853.93 


28 


64,47238.26038.33 


53 


122,03700.99286.84 


78 


179,60103.72535.36 


103 


237,16626,45783.87 


29 


66,77496.76968.27 


54 


124.33959.50216.78 


79 


181,90422.23465.30 


104 


239,46884.96713.81 


30 


69,07755.27898.21 


55 


126,64218.01146.73 


80 


184,20080.74395.24 


105 


241,77143.47643.75 


31 


71,38013.78828.15 


56 


128,94476.52076.67 


81 


186,50939.25325.18 


106 


244,07401.98573.09 


32 


73,68272.29758.09 


57 


131,24735.03006.61 


82 


188,81197.70255.12 


107 


240,37660.49503.63 


33 


75.98530.80688.04 


58 


133,54993.53936.55 


83 


191,11456.27185.06 


108 


248,67919.00433.57 


34 


78,28789.31617.98 


59 


135,85252.04806!49 


84 


193,41714.78115.00 


109 


250,98177.51303.51 


35 


80,59047.82547.92 


60 


138,15510.55796.43 


85 


195,71973.29044.94 


110 


253.28436.02293.45 



— 48 — 



IV 



RECHERCHE DU NOMRRE. 



ROMBRB. 

1,0 9 
8 

7 

• 

6 
5 
4 
3 
2 
1 

* 

l,0«9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0*9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
I 

1,0*9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 



Log(.-^^) 



0,0 3742 
3342 
2938 
2530 
2118 
1703 
1283 

0,0» 860 
432 



.64979 
.37554 
.37776 
.58652 
. 92990 
.33392 
. 72247 
.01717 
.13737 



0.0* 389.11662 
346.05321 
302.94705 
259 . 79807 
216.60617 
173.37128 
130.09330 

0,0» 86.77215 
43.40774 



.40623.63520 
.86949.70231 
.85209.64083 
.64770.24084 
.69938.07279 
.98780.35484 
.05172.20517 
.61917.56104 
.82642.57427 

.36910.52171 
.09500.48615 
.53618.00716 
.19908.59231 
.56507.67623 
.09000.52976 
.20418.11880 
.31226.91249 
.79318.64066 



.05133.08 
.25614.99 
.45412.39 
.67311.86 
.35052.67 
.77218.42 
.10711.95 
.89366.92 
.51881.78 

.52813.17 
.72276.44 
.93257.67 
.19629.85 
.04206.38 
.80271.00 
.08262.79 
.28427.08 
.89213.88 



0,0» 39.06892.49910.13102. 

34.72966.85303.54068. 

30.38997.84812.49181. 

26.04985.47390.34681. 

21.70929.72230.20828. 

17.36830.58464.91882. 

13.02688.05227.06100. 

0,0* 8 . 68502 , 1 1 048 . 95722 . 

4.34272.76862.66963. 



88642.23 
77056.93 
05176.08 
78546 . 1 1 
19128.84 
26381.53 
37808 . 72 
88997.98 
73135.28 



0.0* 3.90847. 

3.47421. 

3.03995. 

2.60568. 

2.17141. 

1.73714. 

1.30286. 

0,0» 86858. 

43429 . 



44584.16730 
68884.03320 
49761.39869 
87215.39547 
81245.15513 
31849.80922 
39028.48926 
02780.32675 
23104.45318 



.24188.05 
.04935.02 
.40262.21 
.94562.29 
.71724.22 
.15122.78 
.07608.19 
.71495.64 
.68554.93 



■OMBRB. 



1,0»9 

8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0»9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0'9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1.0»9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
{ 



Log(i-^7^) 



0,0'39086 
34743 
30400 
26057 
21714 
17371 
13028 

0,0» 8685 
4342 



.32748 
.41957 
.50733 
. 59074 
.66980 
. 74453 
.81491 
.88095 
.94264 



.30828 
.87671 
.15761 
.15010 
.85333 
.26641 
.38849 
.21869 
.75615 



0,0» 3908.64857.82376 
3474.35446.54.844 
3040.06030.93017 
2605.76610.96897 
2171.47186.66483 
1737.17758.01775 
1302.88325.02772 

0,0' 868.58887.69476 
434.29446.01885 



0.0' 390.86501 
347.43557 
304.00612 
260.57668 
217.14723 
173.71778 
130.28834 

0,0» 86.85889 
43.42944 

0,0» 39.08650 
34.74355 
30.40061 
26.05766, 
21.71472 
17.37177 
13.02883 

0,0« 8.68588 
4.34294 



.61240 
.16251 
.66920 
.13246 
.55229 
. 92869 
.26166 
.55120 
.79731 



.22139.17 
.28640.14 
.02389.69 
.57693.60 
.08831.62 
.70057.42 
.55598.63 
.79656.80 
.56407.44 

70075 . 57 
13726.27 
78673.69 
56231.94 
37715.16 
14437.46 
77712.98 
18855.84 
29180.14 

.01183.14 
.78782.41 
!61969.27 
.50735.02 
.45070.99 
.44968.48 
.50418.82 
.61413.30 
.77943.26 



31954.03400.37 
84132.85912.74 
36268.25480.37 
88360.22103.23 
40408.75781.33 
92413.86514.65 
44375.54303.18 
96293.79146.93 
48168.61045.87 



— 49 



IV (SAUe). 



RECHERCHE DU NOMBRE. 



MOUBaS. 



1.0»9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
l 

l,0»«9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0"9 
8 
7 

5 
4 
3 
2 
I 



l^og(.-K;^,) 



0,0« 3. 90865. 03353 
3.47435.58538 
3.04006.13722 
2.60576.68906 
2.17147.24089 
1.73717.79272 
1 . 30288 . 34455 

0,0" 86858.89637 
43429.44818 



O^O»"» 



0,0» 



0,0»' 



0,0 



II 



39086.50336 
34743.55855 
30400.61373 
26057.66891 
21714.72409 
17371.77927 
13028.83445 
8685 . 88963 
4342.94481 

3908.65033 
3474 . 35585 
3040.06137 
2605.76689 
2171.47240 
1737.17792 
1302.88344 
868.58896 
434 . 29448 



.70373.80 
.36272.28 
.58741.31 
.37780.90 
.73391.04 
.65571.73 
.14322.97 
.19644.76 
.81537.10 

.95337.72 
.08704.04 
.21636.06 
.34133.80 
.46197.23 
.57826.38 
.69021.22 
.79781.78 
.90108.04 

.71116.78 
.52121.17 
.33121.23 
.14116. 9/ï 
.95108.30 
.76095.33 
.57078.01 
.38056.35 
.19030.35 



NOMBRE. 



1,0'«9 

8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0»»9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 



Log(.+^.) 



0,0^390. 86503 
347.43558 
304.00613 
260.57668 
217.14724 
173.71779 
130.28834 

0,0» 86.85889 
43.42944 



.37127.51 
.55224.62 
.73321.70 
.91418.73 
.09515.72 
.27612.66 
.45709.56 
.63806.42 
.81903.23 



0,0» 39.08650.33712.91 
34.74355.85522.59 
30.40061.37332.27 
26.05766.89141.94 
21.71472.40951.62 
17.37177.92761.30 
13.02883.44570.97 

0,0" 8.68588.96380.65 
4.34294.48190.32 



50 — 



V 



RECHERCHE Dl NOMBRE 



a 



\ 

2 
3 
4 
5 
G 
7 
8 
9 
10 



II 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 



Log a 





30102.99950.03981. 

47712.12547.19602. 

00205.99913.27902 

69897.00043.36018 

77815.12503.83643 

84509.80400.14250 

90308.99869.91943, 

95424.25094.39324 





19521.37388.95 
43729.50279.03 
39042.74777.89 
80478. 626U. 05 
03250.87667 98 
83071.22162.59 
58564.12166.84 
87459.00558.07 



04130.26851.58225. 
07918.12460.47624. 
11394.33523.06836. 
14612.80356.78238. 
17609.12590.55681. 
20411.99826.55924. 
23044.89213.78273. 
25527.25051.03300. 
27875.36009.52828. 
30102.99950.63981. 



04075.01999.71 
82772.25056.93 
76920.65051.58 
02592.59551.53 
24208.12890.09 
78085.49555.79 
92854.01698.94 
06980.37947.01 
96153.63334.76 
19521.37388.95 



21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 



31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 



Log^ n 



32221. 
34242 . 
36172. 
38021. 
39794 . 
41497. 
43136. 
44715. 
46239. 
47712. 



92947.33919 
26808.22206 
78300.17592 
12417.11600 
00080.72037 
33479.70817 
3764 1 . 58987 
80313.42219 
79978.98956 
12547.19662 



.26800. 
.23596. 
.87886. 
.02293. 
. 60957 . 
.96442. 
.31188. 
.22113. 
.08733. 
.43729. 



72441.62 
39388.66 
77771.12 
62445 . 87 
25222.11 
02440.53 
50837.10 
96940 . 48 
28467.63 
50279.03 



49136.16938 
50514.99783 
51851.39398 
53147.89170 
54406.80443 
55630.25007 
56820.17240 
57978.35966 
59106.46070 
60205.99913 



.34272.67966.67041.00 
.19905.97606.86944.74 
.77887.47804.52278.74 
.42255.12375.39087.89 
.50275.63549.84773.64 
.67287.26501.75335.90 
.66994.99688.84506.90 
.16810.15675.00723.70 
.26499.20650.15330.61 
.27962.39042.74777.89 



TT = 3, 1 4 1 59 . 26535 . 89793 . 23846 . 26433 . 83 

- - 0,3 1 830 . 9886 1 . 83790 . 67 1 53 . 77675 . 27 

7r'=9,86960. 44010. 89358. 61883. 44910. 00 

y/^=1,77245. 38509. 05516. 02729. 31674.83 

Log TT = 0,497 1 4 . 98726 . 94 1 33 . 85435 . 1 2682 . 88 





51 


^ n^i'^ 








V (Suilc). 








REGHERGHË 


DU NOMBRE. 


# 




a 


I.og a 


a 


Log a 






41 


01278.38567.19735.49450.94118.50 


71 


85 1 25 . 83487 . 1 9075 . 28009 . 28294 . 35 






42 


62324 . 92903 . 97900 . 46322 . 09830 . 57 


72 


85733.24904.31208.40023.12724.91 






43 


63346 . 84555 . 79580 . 52040 . 50881 . 53 


73 


86332 . 2860 1 . 20455 . 90 1 07 . 43869 . 00 






44 


64345.26764.86187.43117.76777.61 


74 


86923.17197.30976.19202.21895.84 






45 


05321.25137.75343.67937.64369.12 


75 


87506. 12633.91700.04680.75501 . 14 






40 


06275.78316.81574.07408.15160.07 


76 


88081.35922.80791.35190.38112.05 






47 


07209.78579.35717.40441.42193.99 


77 


88049 .07251. 7248 1 . 87 1 40 . 24 1 02 . 30 






48 


08124.12373.75587.21814.99834.82 


78 


89209.40020.90480.40171.52719.50 






49 


09019.00800.28513.00142.44325.17 


79 


89702.70912.90441.42709.48213.80 






50 


69897.00043.36018.80478.02611.05 


80 


90308.99809.91943.58564.12100.84 






51 


70757.01760.97930.30583.51977.98 


81 


90848.50188.78649.74918.01116.13 






52 


7 1 600 . 33436 . 34799 . 1 5903 . 39829 . 47 


82 


91381.38523.83716.68972.31507.45 


( 




53 


72427 . 58690 . 00789 . 04503 .-29922 . 92 


83 


9 1 907 . 80923 . 76073 . 90383 . 27003 . 52 






54 


73239 . 37598 . 22908 . 50709 . 88220 . 04 


84 


92427.92800.01881.65843.47219.51 






55 


74030 . 20894 . 94243 . 84553 . 046 1 . 77 


85 


92941.89257.14292.73332.64310.00 






50 


74818.80270.06200.41035.34329.43 


80 


93449.84512.43567.72161.88270.48 






57 


75587 . 48550 . 7249 1 . 39883 . 1 30 1 3 . 79 


87 


93951.92526.18618.52402.78740.06 






58 


70342 . 79935 . 62937 . 28254 . 65856 . 58 


88 


94448.26721.50168.62039.14106.55 






59 


77085.20116.42144.19026.06563.85 


89 


94939 . 00066 . 449 1 2 . 78472 . 35433 . 70 






60 


77815'. 12503.83643.03250.87007.98 


90 


95424 . 25094 . 39324 . 87459 . 00558 . 07 






61 


78532 . 98350 . 1 0707 . 03388 .57485 . 1 4 


91 


95904. 13923.21093.59991 .87214. 17 






62 


79239 . 1 0894 . 98253 . 87488 . 04429 . 95 


92 


96378 . 78273 . 45555 . 26929 . 52549 . 02 






63 


79934 . 05494 . 5358 1 . 70530 . 22720 . 05 


93 


96848 . 29485 . 53935 . 1 1 696 . 1 7320 . 03 






64 


806 1 7 . 99739 . 83887 .17128. 24333 . 68 


94 


97312. 78535 . 99698 . 65962 . 79582 . 94 






65 


81 29 1 . 33566 . 42855 . 57399 . 27662 . 63 


95 


97772 . 36052 . 88847 . 76632 . 25945 . 8 1 






66 


81954.39355.41868.67325.89667.69 


90 


98227 . 1 2330 . 39568 . 4 1 336 . 37223 . 77 






67 


82607.48027.00826.43414.91316.29 


97 


98677.17342.66244.85178.43618.12 






68 


83250 . 89 1 27 . 06236 . 3 1 896 . 76476 . 84 


98 


99122.60756.92494.85603.81714.12 






69 


83884 . 90907 .37255.31616. 28050 . 1 6 


99 


99563 . 5 1 945 . 97549 . 9 1 534 . 02557 . 78 






70 


84509 . 80400 . 1 4256 . 8307 1 . 22 1 62 . 59 


100 










— 52 — 



VI 





LOGARITHMES DES FAGTORIELLES. 






SOMMES DES LOGAAITHMK 


s DES W 

n 


[OMBRES NATURELS. 


SOMU 

an-1 


[ES DES LOG. DES KOMBRES IMPAIRS. 
Log [1.3.5.7 (2""*)] 


n 


Log (l.a.3 Il) 


Log(l .3.3 n) 


1 


0.0 


31 


33,9 1 502. 1 7687.59992.30990 


1 


0,0 


2 


0,30 1 02 .99956.6398 1 . 1 952 1 


32 


35,42017.17470.79898.28597 


3 


0,47712.12547.19662.43730 


3 


0.77815.1 2503.83643.6325 1 


33 


36,93868.56869.57785.7640 1 


5 


1,17609.12590.55081.24208 


4 


1,38021.12417.11606.00294 


34 


38.47016.46040.00040.88777 


7 


2.021 18.92990.69938.07279 


5 


2.079 1 8. 1 2460.47624.82772 


35 


40,0 1 423.26483.503 1 6.52326 


9 


2,97543.18085.09262.94738 


ô 


2,85733.24964.31268.46023 


36 


41,57053.51491.17603.78828 


11 


4,01682.44936.67487.98813 


7 


3,70243.05364.45525.29094 


37 


43, 1 3873.6873 1 .84598.78509 


13 


5, 1 3076.78459.74324.75734 


8 


4,60552.05234.37468.87658 


38 


44.7 1 852 .04698.0 1 408.94 1 84 


15 


6,30685.91050.30005.99942 


9 


5,55976.30328.76793.751 17 


39 


46,30958.50768.27908. 14834 


17 


7,53730.80264.08279.92796 


10 


6,55976.30328.76793.75 1 1 7 

• 


40 


47,91 164.50681 .55870.53877 


19 


8,81606.16273.61 108.88950 


11 


7,60115.57180.35018.79192 


41 


49,52442.89248.75606.03328 


21 


1 0, 1 3828.09220.95028. 1 575 1 


12 


8,68033.69640.82643.6 1 965 


42 


51,1 4767.82 1 52.73506.49650 


23 


11,50000.87581.12621.03637 


13 


9,79428.03163.69480.38885 


43 


52,781 14.66708.53093.02290 


25 


12.89794.87667.84658.64595 


14 


1 0,94040.83520.677 1 8.4 1478 


44 


54,42459.93473.39280.45408 


27 


14,32931.25309.43645.95783 


15 


12,1 1649.961 1 1.23399.65686 


45 


56,07781.18611.14624.13346 


29 


15,79171.05288.42602.04516 


16 


13,32061.95937.79324.43772 


46 


57.74056.96927.961 98.20754 


31 


1 7,28307.22226.76874.72483 


17 


14,55106.85151.57598.36626 


47 


59,41266.75507.31915.67195 


33 


18,80158.61625.54762.20288 


18 


15,80634.10202.60904.43606 


48 


6 1 ,09390.8788 1 .07502 .890 1 


35 


20.34565.42069.05037.83837 


19 


1 7,08509.462 12. 1 3733.39760 


49 


62,784 1 0.4868 1 .360 1 6.55 1 53 


37 


2 1 ,9 1 385.59309.72032.835 18 


20 


18,38612.46168.77714.59281 


50 


64,48307.48724.72035.35631 


39 


23,50492.05379.98532.04168 


21 


19,70834.391 16.1 1633.86082 


51 


66. 1 9064.50485.6997 1 .722 1 5 


41 


25,1 1770.43947.18267.53619 


22 


21,05076.65924.33840.09678 


52 


67,90664.83922.04770.88178 


43 


26.751 17.28502.97854.06260 


23 


22,41249.44284.51432.97565 


53 


69,63092.42618.05559.92742 


45 


28,40438.53640.731 97.74 197 


24 


23,79270.56701.63038.99859 


54 


7 1 ,3633 1 .802 1 6.28528.43452 


47 


30,07648.32220.08915.20639 


25 


2 5, 1 9064.56788.35076.608 1 6 


55 


73,10368.071 1 1.227^.28005 


49 


31,76607.93020.37428.86781 


26 


26.6056 1 .90268.05894.57258 


56 


74,85186.87381 .28972.69641 


51 


33.47424.9478 1 .3*5365.23365 


27 


28,03698.27909.64881.88446 


57 


76,60774.35938.01464.09524 


53 


3 5, 1 9852 .53477.36 1 54.27928 


28 


29,484 1 4.08223.07 101.1 0560 


58 


78,37117.15873.64401.37778 


55 


36,93888.80372.30398. 1 2482 


29 


30,94653.88202.06057. 1 9294 


59 


80,14202.35990.06545.56804 


57 


38.69476.28929.02889.52365 


30 


32,42366.00749.25719.63023 


60 


8 1 .920 1 7.48493.90 1 89.20055 


59 


40^656 1 .49045.45033.7 1 391 



7 i.- 



l f- i 



t *^ 



L 



I ' 



~ 53 — 



VI (Suite). 



LOGARITHMES DES FACTORIELLES. 



61 
62 
63 
64 
65 
66 
67 
68 
69 
70 



71 

72 
73 
74 
75 
76 
77 
78 
79 
80 



sou MES DES LOGARITHMES DBS NOMBRES NATURELS. 



Log(i .3.3 n) 



83,70550.46844.00956.23444 
85,49789.63783.99210.10932 
87,29723.69233.5279 1 .8 1 462 
89. 1 034 1 .68973.36678.98590 
90,9 1633.02539.79534.55990 
92,73587.41895.21403.23310 
94,56194.89922.221229.66730 
90,39445.79049.28465.98627 
98,23330.69956.6572 1 .30244 
100.07840.50356.79978.13315 



1 1 ,02966.33843.90053.4 1 924 
1 03,78699.58808.3032 1 .87947 
1 05,6503 1 .87409.50777.78055 
107,51 955.04606.8 1 753.97257 
1 09,3946 1 . 1 7240.73454.0 1 944 
1 1 1.27542.53163.54245.37140 
113.16191.60415.26727.24286 
1 1 5,0540 1 .06442. 1 7207.64458 
1 16.95163.77355.07649.07257 
1 18,85472.77224.99592.65821 






81 
82 
83 
84 
85 
86 
87 
88 
89 
90 



91 
92 
93 
94 
95 
90 
97 
98 
99 
100 



Log(i .2.3 n) 



1 20,7632 1 .274 1 3.78242.40739 
1 22.67702.65037.6 1 959.097 1 2 
1 24,596 1 0^86 1 .38033.00095 
120,52038.3972 1 .999 14.65938 
128,44980.28979.14207.39271 
1 30,38430. 1 349 1.57775.11 433 
1 32,32382.000 1 7.76393.68896 
1 34.26830.32739.26562.26535 
1 36,2 1 769.32805.7 1 475.05007 
1 38, 1 7 1 93.57900. 1 0799.92466 



140,13097.71823.31893.52458 
142.09476.50096.77448.79388 
1 44,06324.79582 .3 1 383.9 1 084 
146.03637.581 18.31082.57047 
148,01 409.94 171.1 9930.33679 
1 49.99637.0650 1 .59498.750 1 5 
1 5 1 ,983 1 4.23844.25743.60 1 94 
1 53,97436.8460 1 . 1 8238.45857 
155.97000.36547.15788.37391 
1 57,97000.36547. 1 5788.3739 1 



SOMMES DES LOG. DES NOMBRES IMPAIRS. 



«n-i 



61 

63 
65 
67 
69 
71 
73 
75 
77 
79 



81 
83 
85 
87 
89 
91 
93 
95 
97 
99 



Log [1.3.5.7 (an— 1)] 



4^,25094.47395.55800.74780 
44,05028.52890.09382.45310 
45,86319.86456.52238.02709 
47,68927.34483.53064.46124 
49,52812.25390.90319.77740 
5 1 ,37938.08878.09395.06350 
53.24270.37479.29850.96457 
55,11776.50113.21551.01144 
57,00425.57364.94032.88290 
58.90 188.28277.84474.3 1 089 



60,8 1 036.78466.63 1 24.06007 
62,72944.59390.39197.06391 
64.65886.48647.53490.69723 
66,59838.4 1 1 73.72 1 09.22 186 
68,54777.41240.17022.00659 
70.50681.55163.381 15.60650 
72,47529.84648.92050.72347 
74,45302.20701 .80898.48979 
76,43979.38044.47 1 43.34 1 57 
78,43542.89990.44693.2569 1 






-{■nj 



Log x = n (y/a; — 1 ) 



X* «• 



e =1-4-27-1 1 h' 



1 «* 1 a:* 

>)*tî"^(îj*r« 

k ëtant le module et n un nombre infini. 



M :=: 1 -U - -U • — ~X- — • h • • • 

^il- (2) *-^(3) k*^ 



54 — 



VII 



LOGARITHMES 1 

POUR LK.H CALCULS D'INTEBÊT COMPOSE ET D'ANNUITES. | 


r 


Logr 


r 


Logr 


100 

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101 

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1/4 
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102 

1/8 
1/4 
3/8 
1/2 
5/8 
3/4 
7/8 



00054.25290.92294.07367.23824.92 
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00 1 62.55582.86737.35618.3370 1 .88 
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00270.58933.75924.92872.50377.92 
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00432.13737.82642.57427.51881.78 
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00539.50318.86706.16353.88949.29 
00593.08672.19212.44504.91141.64 
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00806.762 1 7.48033.02678.5 1 358.57 

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009 1 3.20695.4047 1 .90230.02049.45 
00966.33166.79379.41318.20249.28 
1 1 9.39 1 47 .68474.88886.75605.39 
1 072.38653.9 1773.1 0408. 1 9340.6 1 
01125.31701.27497.18616.28426.58 
01178.1 8305.48 106.81 543.04767.4 1 

1 230.98482.20326.254 1 2.649 1 0.72 


103 

1/8 
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105 

1/8 
1/4 
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1/2 

5/8 
3/4 
7/8 


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1 389.00603.28438.63054.53948.54 
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1 494.03497.92936.55824.40940.24 
1 546.45435.58329.96747.3920 1 .04 
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01651.10367.92167.40543.15675.39 

1 703.33392.98780.35484.772 1 8.42 
01755.50144.14844.00432.33857.27 

1 807.60636.45795. 1 2732.39833. 1 6 
01859.64884.91658.49912.91203.31 
01911.62904.47072.80707.27945.52 
01963.54710.01316.40591.05711.^ 
02015.40316.38332.91942.32618.10 

02067. 1 9738.36756.68935.73845.43 

02 1 1 8.92990.69938.07279.35052.67 
02 1 70.60088.05968.58902.44768.42 

02222.2 1 045.07705.9 1 70 1 .6589 1 .34 

02273.75876.32798.7445 1 .7729 1 .35 
02325.24596.33711.46986.78192.35 
02376.672 1 9.57748.75755.80547.37 

02428.03760.47079.94857.67974. 1 7 
02479.34233.38763.32657. 1 3995. 1 7 




-log. 7r = 0,24857.49363.4': 
-log. 3 =0,15051.49978.31 
-log. aw= 0,39908. 9934 1.7Ç 
l log. ^=0,09805. 99385. lî 
fr- 0,43429. 448 19. 0325 1.85 


^066.9271' 
[990.59761 
)057.5247, 
)076.3295 
^765.1128 


7.56341.44145.45 
0.68694.47362.25 
8.25035.91507.70 
0.87646.96783.20 
9.18916.60508.22944 



55 



VU (Suite). 



106 



1/8 
1/4 
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LOGARITHMES 

POOR LES CALCULS D>IKTÉr.ÊT COMPOSE ET D^ANNUITÉS. 



Logr 



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02581.77032.52009.08721.27631.30 
02032.89387.22349.14768.52143.15 
02683.95730.92644.29003.50111.18 
02734.96077.74756.528 1 7.4 1 1 84.44 
02785.9044 1 .75579.44435.7 1 943.92 
02836.78836.9706 1 .474 1 7.04869.83 
02887.61277.36229.05527.14337.03 

02938.37776.85209.64083.45412.39 
02989.08349.3 1 254.57865. 13130.11 
03039.73008.56761.85682.42552.43 
03090.3 1 768.39298.7 1 698.73275.28 
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0324 1 .72788.32769.2 1 032.28025.37 
03292.08087.23206.00702.24141.86 

03342.37554.86949.7023 1 .256 1 4.99 
03392.61204.72870.63370.55746.80 
03442.79050.25403.05227.05886.60 
03492.91 104.84266.70873.41510,08 
03542.97381.84548.31516.51814.64 
03592.97894.56722.88310.38046.74 
03642.92656.26674.93898.66579.82 
03692.81680.15719.61771.44201.03 



109 



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Logr 



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03941.41191.76137.14315.56759.09 
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04089.88880.81828.30789.75697.32 

04139.26851.58225.04075.01999.71 
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04336.22780.21129.50253.29361.58 
04385.32837.05881.84670.07287.09 
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04532.29787.80657.43410.34785.93 
0458 1 . 1 7739.78270. 1 093 1 .79869.96 
04630.00 1 96.52969. 1 9908.23266.86 
04678.77 1 70.4493 1 .20428.90949.00 
04727.48073.84179.47826.14373.22 

04776. 1 47 1 8.96602.84030.9336 1 .9 1 
04824.753 1 8.03974.085 1 2.49 1 36.50 
04873.30483.23968.3887 1 .5427 1.13 






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